log(16*1/(25-x^2),14*1/(24-2*x-x^2))>1

$$log{left (frac{16}{- x^{2} + 25},frac{14}{- x^{2} + – 2 x + 24} right )} > 1$$

Дано неравенство:
$$log{left (frac{16}{- x^{2} + 25},frac{14}{- x^{2} + – 2 x + 24} right )} > 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log{left (frac{16}{- x^{2} + 25},frac{14}{- x^{2} + – 2 x + 24} right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$log{left (frac{16}{- x^{2} + 25},frac{14}{- x^{2} + – 2 x + 24} right )} = 1$$
преобразуем
$$frac{log{left (- frac{16}{x^{2} – 25} right )}}{log{left (- frac{14}{x^{2} + 2 x – 24} right )}} – 1 = 0$$
$$log{left (frac{16}{- x^{2} + 25},frac{14}{- x^{2} + – 2 x + 24} right )} – 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (frac{14}{- x^{2} – 2 x + 24} right )}$$
Дано уравнение:
$$log{left (frac{16}{- x^{2} + 25},frac{14}{- x^{2} + – 2 x + 24} right )} – 1 = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(16/(25 – x^2))

b1 = log(14/(24 – x^2 – 2*x))

a2 = 1

b2 = 1

зн. получим ур-ние
$$log{left (frac{16}{- x^{2} + 25} right )} = log{left (frac{14}{- x^{2} – 2 x + 24} right )}$$
$$log{left (frac{16}{- x^{2} + 25} right )} = log{left (frac{14}{- x^{2} – 2 x + 24} right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log16/+25+x+2) = log(14/(24 – x^2 – 2*x))

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log16/+25+x+2) = log14/+24+x+2+2*x)

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

log(16/(25 – x^2)) = log(14/(24 – x^2 – 2*x))

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (frac{14}{- x^{2} – 2 x + 24} right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -17$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -17$$
$$x_{2} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = -17$$
$$x_{2} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{171}{10}$$
=
$$- frac{171}{10}$$
подставляем в выражение
$$log{left (frac{16}{- x^{2} + 25},frac{14}{- x^{2} + – 2 x + 24} right )} > 1$$

/ 16 14
log|—————-, —————————| > 1
| 1 1|
|/ 2 / 2 |
|| /-171 | | 2*(-171) /-171 | |
||25 – |—–| | |24 – ——– – |—–| | |
10 / / 10 10 / / /

-log(26741) + pi*I + log(1600)
—————————— > 1
-log(23421) + pi*I + log(1400)

Тогда
$$x < -17$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -17 wedge x < 1$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

$$left(-5 < x wedge x < - sqrt{11} - 1right) vee left(1 < x wedge x < -1 + sqrt{11}right)$$

____ ____
(-5, -1 – / 11 ) U (1, -1 + / 11 )

$$x in left(-5, – sqrt{11} – 1right) cup left(1, -1 + sqrt{11}right)$$