log(16)^(1/8)*log(1/4)*(x+2)>=2

$$log{left (frac{1}{4} right )} sqrt[8]{log{left (16 right )}} left(x + 2right) geq 2$$

Дано неравенство:
$$log{left (frac{1}{4} right )} sqrt[8]{log{left (16 right )}} left(x + 2right) geq 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log{left (frac{1}{4} right )} sqrt[8]{log{left (16 right )}} left(x + 2right) = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:

log(16)^(1/8)*log(1/4)*(x+2) = 2

Раскрываем выражения:

-4*2^(1/4)*log(2)^(9/8) – 2*x*2^(1/4)*log(2)^(9/8) = 2

Сокращаем, получаем:

-2 – 4*2^(1/4)*log(2)^(9/8) – 2*x*2^(1/4)*log(2)^(9/8) = 0

Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-2 – 4*2^1/4log2^9/8 – 2*x*2^1/4log2^9/8 = 0

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:

4 ___ 9/8 4 ___ 9/8
– 4*/ 2 *log (2) – 2*x*/ 2 *log (2) = 2

Разделим обе части ур-ния на (-4*2^(1/4)*log(2)^(9/8) – 2*x*2^(1/4)*log(2)^(9/8))/x

x = 2 / ((-4*2^(1/4)*log(2)^(9/8) – 2*x*2^(1/4)*log(2)^(9/8))/x)

Получим ответ: x = -2 – 2^(3/4)/(2*log(2)^(9/8))
$$x_{1} = -2 – frac{2^{frac{3}{4}}}{2 log^{frac{9}{8}}{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = -2 – frac{2^{frac{3}{4}}}{2 log^{frac{9}{8}}{left (2 right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = -2 – frac{2^{frac{3}{4}}}{2 log^{frac{9}{8}}{left (2 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

3/4
2 1
-2 – ———– – —
9/8 10
2*log (2)

=
$$- frac{21}{10} – frac{2^{frac{3}{4}}}{2 log^{frac{9}{8}}{left (2 right )}}$$
подставляем в выражение
$$log{left (frac{1}{4} right )} sqrt[8]{log{left (16 right )}} left(x + 2right) geq 2$$

/ 3/4
8 _________ | 2 1 |
/ log(16) *log(1/4)*|-2 – ———– – — + 2| >= 2
| 9/8 10 |
2*log (2) /

/ 3/4
8 _________ | 1 2 |
-/ log(16) *|- — – ———–|*log(4) >= 2
| 10 9/8 |
2*log (2)/

значит решение неравенства будет при:
$$x leq -2 – frac{2^{frac{3}{4}}}{2 log^{frac{9}{8}}{left (2 right )}}$$

_____
——-•——-
x1

$$x leq -2 – frac{2^{frac{3}{4}}}{2 log^{frac{9}{8}}{left (2 right )}} wedge -infty < x$$

3/4
2
(-oo, -2 – ———–]
9/8
2*log (2)

$$x in left(-infty, -2 – frac{2^{frac{3}{4}}}{2 log^{frac{9}{8}}{left (2 right )}}right]$$