log(16^(1/8))*log(1/4)*(x+2)>=2

$$log{left (frac{1}{4} right )} log{left (sqrt[8]{16} right )} left(x + 2right) geq 2$$

Дано неравенство:
$$log{left (frac{1}{4} right )} log{left (sqrt[8]{16} right )} left(x + 2right) geq 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log{left (frac{1}{4} right )} log{left (sqrt[8]{16} right )} left(x + 2right) = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:

log(16^(1/8))*log(1/4)*(x+2) = 2

Раскрываем выражения:

-2*log(2)^2 – x*log(2)^2 = 2

Сокращаем, получаем:

-2 – 2*log(2)^2 – x*log(2)^2 = 0

Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-2 – 2*log2^2 – x*log2^2 = 0

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:

2 2
– 2*log (2) – x*log (2) = 2

Разделим обе части ур-ния на (-2*log(2)^2 – x*log(2)^2)/x

x = 2 / ((-2*log(2)^2 – x*log(2)^2)/x)

Получим ответ: x = -2 – 2/log(2)^2
$$x_{1} = – frac{2}{log^{2}{left (2 right )}} – 2$$
$$x_{1} = – frac{2}{log^{2}{left (2 right )}} – 2$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{2}{log^{2}{left (2 right )}} – 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

2 1
-2 – ——- – —
2 10
log (2)

=
$$- frac{2}{log^{2}{left (2 right )}} – frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$log{left (frac{1}{4} right )} log{left (sqrt[8]{16} right )} left(x + 2right) geq 2$$

/8 ____ / 2 1
log/ 16 /*log(1/4)*|-2 – ——- – — + 2| >= 2
| 2 10 |
log (2) /

/ 1 2 / ___
-|- — – ——-|*log(4)*log/ 2 /
| 10 2 | >= 2
log (2)/

значит решение неравенства будет при:
$$x leq – frac{2}{log^{2}{left (2 right )}} – 2$$

_____
——-•——-
x1

$$x leq – frac{2}{log^{2}{left (2 right )}} – 2 wedge -infty < x$$

2
(-oo, -2 – ——-]
2
log (2)

$$x in left(-infty, – frac{2}{log^{2}{left (2 right )}} – 2right]$$