log(2)*1/log(2^x-3)*log(sqrt(2))*1/log(16*(4^x-6*2^x+9))

$$frac{frac{log{left (2 right )}}{log{left (2^{x} – 3 right )}} log{left (sqrt{2} right )}}{log{left (16 left(- 6 cdot 2^{x} + 4^{x} + 9right) right )}} < 32$$

Дано неравенство:
$$frac{frac{log{left (2 right )}}{log{left (2^{x} – 3 right )}} log{left (sqrt{2} right )}}{log{left (16 left(- 6 cdot 2^{x} + 4^{x} + 9right) right )}} < 32$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{frac{log{left (2 right )}}{log{left (2^{x} – 3 right )}} log{left (sqrt{2} right )}}{log{left (16 left(- 6 cdot 2^{x} + 4^{x} + 9right) right )}} = 32$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{frac{log{left (2 right )}}{log{left (2^{x} – 3 right )}} log{left (sqrt{2} right )}}{log{left (16 left(- 6 cdot 2^{x} + 4^{x} + 9right) right )}} = 32$$
преобразуем
$$-32 + frac{log{left (2^{log{left (sqrt{2} right )}} right )}}{log{left (2^{x} – 3 right )} log{left (- 96 cdot 2^{x} + 16 cdot 4^{x} + 144 right )}} = 0$$
$$frac{frac{log{left (2 right )}}{log{left (2^{x} – 3 right )}} log{left (sqrt{2} right )}}{log{left (16 left(- 6 cdot 2^{x} + 4^{x} + 9right) right )}} – 32 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (- 96 cdot 2^{x} + 16 cdot 4^{x} + 144 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{frac{log{left (2 right )}}{log{left (2^{x} – 3 right )}} log{left (sqrt{2} right )}}{log{left (16 left(- 6 cdot 2^{x} + 4^{x} + 9right) right )}} – 32 = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(2)*log(sqrt(2))/log(-3 + 2^x)

b1 = log(144 – 96*2^x + 16*4^x)

a2 = 1

b2 = 1/32

зн. получим ур-ние
$$frac{1}{32} log{left (2 right )} log{left (sqrt{2} right )} frac{1}{log{left (2^{x} – 3 right )}} = log{left (- 96 cdot 2^{x} + 16 cdot 4^{x} + 144 right )}$$
$$frac{log{left (2 right )} log{left (sqrt{2} right )}}{32 log{left (2^{x} – 3 right )}} = log{left (- 96 cdot 2^{x} + 16 cdot 4^{x} + 144 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log2logsqrt+2)/32*log-/3+/2+/x) = log(144 – 96*2^x + 16*4^x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log2logsqrt+2)/32*log-/3+/2+/x) = log144+96*2+x+16*4+x

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

log(2)*log(sqrt(2))/(32*log(-3 + 2^x)) = log144+96*2+x+16*4+x

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

log(2)*log(sqrt(2))/(32*log(-3 + 2^x)) = log(144 – 96*2^x + 16*4^x)

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

/ ___
log(2)*log/ 2 / / x x
3 + —————– = 3 + log144 – 96*2 + 16*4 /
1/ x
32*log -3 + 2 /

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (- 96 cdot 2^{x} + 16 cdot 4^{x} + 144 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2.00097565071$$
$$x_{1} = 2.00097565071$$
Данные корни
$$x_{1} = 2.00097565071$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$1.90097565071$$
=
$$1.90097565071$$
подставляем в выражение
$$frac{frac{log{left (2 right )}}{log{left (2^{x} – 3 right )}} log{left (sqrt{2} right )}}{log{left (16 left(- 6 cdot 2^{x} + 4^{x} + 9right) right )}} < 32$$

log(2) / ___
————————*log/ 2 /
1/ 1.90097565071
log 2 – 3/
———————————————— < 32 1/ / 1.90097565071 1.90097565071 log 16*4 - 6*2 + 9//

/ ___
-1.50427693379075*log(2)*log/ 2 / < 32

значит решение неравенства будет при:
$$x < 2.00097565071$$

_____
——-ο——-
x1