log(2)*1/log(x+5)*1/(2^x+2-4^x-3)

$$frac{log{left (2 right )} frac{1}{log{left (x + 5 right )}}}{- 4^{x} + 2^{x} + 2 – 3} leq frac{log{left (2 right )}}{log{left (x + 5 right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (2 right )} frac{1}{log{left (x + 5 right )}}}{- 4^{x} + 2^{x} + 2 – 3} leq frac{log{left (2 right )}}{log{left (x + 5 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (2 right )} frac{1}{log{left (x + 5 right )}}}{- 4^{x} + 2^{x} + 2 – 3} = frac{log{left (2 right )}}{log{left (x + 5 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (2 right )} frac{1}{log{left (x + 5 right )}}}{- 4^{x} + 2^{x} + 2 – 3} = frac{log{left (2 right )}}{log{left (x + 5 right )}}$$
преобразуем
$$frac{left(2^{x} – 4^{x} – 2right) log{left (2 right )}}{left(- 2^{x} + 4^{x} + 1right) log{left (x + 5 right )}} = 0$$
$$frac{log{left (2 right )} frac{1}{log{left (x + 5 right )}}}{- 4^{x} + 2^{x} + 2 – 3} – frac{log{left (2 right )}}{log{left (x + 5 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x + 5 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{log{left (2 right )} frac{1}{log{left (x + 5 right )}}}{- 4^{x} + 2^{x} + 2 – 3} – frac{log{left (2 right )}}{log{left (x + 5 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(2)/log(5 + x)

b1 = -1 + 2^x – 4^x

a2 = log(2)

b2 = log(5 + x)

зн. получим ур-ние
$$frac{log{left (2 right )}}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x + 5 right )} = left(2^{x} – 4^{x} – 1right) log{left (2 right )}$$
$$log{left (2 right )} = left(2^{x} – 4^{x} – 1right) log{left (2 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log2 = (-1 + 2^x – 4^x)*log(2)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log2 = -1+2+x+4+xlog2

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

log(2) = (-1 + 2^x – 4^x)*log(2)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (x + 5 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x + 5 right )} = w$$
$$log{left (x + 5 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x + 5 = e

упрощаем
$$x + 5 = e^{w}$$
$$x = e^{w} – 5$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{log{left (frac{1}{2} – frac{sqrt{7} i}{2} right )}}{log{left (2 right )}}$$
$$x_{2} = frac{log{left (frac{1}{2} + frac{sqrt{7} i}{2} right )}}{log{left (2 right )}}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

/ log(2)
|——-|
| 1 |
log (5)/ log(2)
—————— <= ------- 1 1 / 0 0 log (5) 2 + 2 - 4 - 3/

-log(2) log(2)
——– <= ------ log(5) log(5)

зн. неравенство выполняется всегда