log(25/2)*1/log(5)*1/(2-log(x)*1/log(5))

$$frac{frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (frac{25}{2} right )}}{- frac{log{left (x right )}}{log{left (5 right )}} + 2} < 1$$

Дано неравенство:
$$frac{frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (frac{25}{2} right )}}{- frac{log{left (x right )}}{log{left (5 right )}} + 2} < 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (frac{25}{2} right )}}{- frac{log{left (x right )}}{log{left (5 right )}} + 2} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (frac{25}{2} right )}}{- frac{log{left (x right )}}{log{left (5 right )}} + 2} = 1$$
преобразуем
$$frac{log{left (x right )} – log{left (2 right )}}{- log{left (x right )} + log{left (25 right )}} = 0$$
$$-1 + frac{frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (frac{25}{2} right )}}{- frac{log{left (x right )}}{log{left (5 right )}} + 2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x right )}$$
Дано уравнение:
$$-1 + frac{log{left (frac{25}{2} right )}}{left(- frac{w}{log{left (5 right )}} + 2right) log{left (5 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = (-log(2) + log(25))/log(5)

b1 = 2 – w/log(5)

a2 = 1

b2 = 1

зн. получим ур-ние
$$frac{1}{log{left (5 right )}} left(- log{left (2 right )} + log{left (25 right )}right) = – frac{w}{log{left (5 right )}} + 2$$
$$frac{1}{log{left (5 right )}} left(- log{left (2 right )} + log{left (25 right )}right) = – frac{w}{log{left (5 right )}} + 2$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-log+2 + log25)/log5 = 2 – w/log(5)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-log+2 + log25)/log5 = 2 – w/log5

Разделим обе части ур-ния на (-log(2) + log(25))/(w*log(5))

w = 2 – w/log(5) / ((-log(2) + log(25))/(w*log(5)))

Получим ответ: w = log(2)
делаем обратную замену
$$log{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x right )} = w$$
$$log{left (x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x = e

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{19}{10}$$
=
$$frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (frac{25}{2} right )}}{- frac{log{left (x right )}}{log{left (5 right )}} + 2} < 1$$

/log(25/2)
|———|
| 1 |
log (5) /
————– < 1 1 / /19 | log|--|| | 10/| |2 - -------| | 1 | log (5)/

-log(2) + log(25)
——————————-
/ -log(10) + log(19) < 1 |2 - ------------------|*log(5) log(5) /

значит решение неравенства будет при:
$$x < 2$$

_____
——-ο——-
x1

$$left(-infty < x wedge x < 2right) vee left(25 < x wedge x < inftyright)$$

(-oo, 2) U (25, oo)

$$x in left(-infty, 2right) cup left(25, inftyright)$$