log(25^|x|+7*5^|x|+30)*1/log((sqrt(5)+1)*1/3)>=log(-5^|x|+25)*1/log((sqrt(5)+1)*1/3)

$$frac{log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}}{log{left (frac{1}{3} left(1 + sqrt{5}right) right )}} geq frac{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}}{log{left (frac{1}{3} left(1 + sqrt{5}right) right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}}{log{left (frac{1}{3} left(1 + sqrt{5}right) right )}} geq frac{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}}{log{left (frac{1}{3} left(1 + sqrt{5}right) right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}}{log{left (frac{1}{3} left(1 + sqrt{5}right) right )}} = frac{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}}{log{left (frac{1}{3} left(1 + sqrt{5}right) right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}}{log{left (frac{1}{3} left(1 + sqrt{5}right) right )}} = frac{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}}{log{left (frac{1}{3} left(1 + sqrt{5}right) right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (frac{1}{3} + frac{sqrt{5}}{3} right )}} left(- log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )} + log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}right) = 0$$
$$- frac{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}}{log{left (frac{1}{3} left(1 + sqrt{5}right) right )}} + frac{log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}}{log{left (frac{1}{3} left(1 + sqrt{5}right) right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (frac{1}{3} + frac{sqrt{5}}{3} right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}}{log{left (frac{1}{3} left(1 + sqrt{5}right) right )}} + frac{log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}}{log{left (frac{1}{3} left(1 + sqrt{5}right) right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(30 + 25^|x| + 7*5^|x|)

b1 = log(1/3 + sqrt(5)/3)

a2 = log(25 – 5^|x|)

b2 = log(1/3 + sqrt(5)/3)

зн. получим ур-ние
$$log{left (frac{1}{3} + frac{sqrt{5}}{3} right )} log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )} = log{left (frac{1}{3} + frac{sqrt{5}}{3} right )} log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}$$
$$log{left (frac{1}{3} + frac{sqrt{5}}{3} right )} log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )} = log{left (frac{1}{3} + frac{sqrt{5}}{3} right )} log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log1/3/3+sqrt/3+5/3)*log30+25+x+7*5+x = log(25 – 5^|x|)*log(1/3 + sqrt(5)/3)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log1/3/3+sqrt/3+5/3)*log30+25+x+7*5+x = log25+5+xlog1/3/3+sqrt/3+5/3)

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

log(1/3 + sqrt(5)/3)*log(30 + 25^|x| + 7*5^|x|) = log25+5+xlog1/3/3+sqrt/3+5/3)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (frac{1}{3} + frac{sqrt{5}}{3} right )} = w$$
подставляем w:

False

Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

/ |0| |0| / |0|
log25 + 7*5 + 30/ log – 5 + 25/
———————— >= —————-
/ ___ / ___
1|/ 5 + 1| 1|/ 5 + 1|
log |———| log |———|
3 / 3 /

log(38) log(24)
————– ————–
/ ___ / ___
|1 / 5 | >= |1 / 5 |
log|- + —–| log|- + —–|
3 3 / 3 3 /

зн. неравенство выполняется всегда