log(2*x+1)^3>log(6)^3-log(2)^3

$$log^{3}{left (2 x + 1 right )} > – log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}$$

Дано неравенство:
$$log^{3}{left (2 x + 1 right )} > – log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log^{3}{left (2 x + 1 right )} = – log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$log^{3}{left (2 x + 1 right )} = – log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}$$
преобразуем
$$log^{3}{left (2 x + 1 right )} – log^{3}{left (6 right )} + log^{3}{left (2 right )} = 0$$
$$log^{3}{left (2 x + 1 right )} + – log^{3}{left (6 right )} – – log^{3}{left (2 right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (2 x + 1 right )}$$
Дано уравнение
$$log^{3}{left (2 x + 1 right )} + – log^{3}{left (6 right )} – – log^{3}{left (2 right )} = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{left(0 w + log{left (2 x + 1 right )}right)^{3}} = sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}}$$
или
$$log{left (2 x + 1 right )} = sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log1+2*x = (log(6)^3 – log(2)^3)^(1/3)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log1+2*x = log+6^3 – log2^3)^1/3

Данное ур-ние не имеет решений

делаем обратную замену
$$log{left (2 x + 1 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (2 x + 1 right )} = w$$
$$log{left (2 x + 1 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
2*x + 1 = e

упрощаем
$$2 x + 1 = e^{w}$$
$$2 x = e^{w} – 1$$
$$x = frac{e^{w}}{2} – frac{1}{2}$$
подставляем w:
$$x_{1} = – frac{1}{2} + frac{1}{2} e^{- frac{1}{2} sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}} – frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}}}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} + frac{1}{2} e^{- frac{1}{2} sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}} + frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}}}$$
$$x_{3} = – frac{1}{2} + frac{1}{2} e^{sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = – frac{1}{2} + frac{1}{2} e^{sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}}}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{1}{2} + frac{1}{2} e^{sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

___________________
3 / 3 3
/ log (6) – log (2)
1 e 1
– – + ———————– – —
2 2 10

=
$$- frac{3}{5} + frac{1}{2} e^{sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}}}$$
подставляем в выражение
$$log^{3}{left (2 x + 1 right )} > – log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}$$

/ / ___________________
| | 3 / 3 3 | |
| | / log (6) – log (2) | |
3| | 1 e 1 | | 3 3
log |2*|- – + ———————– – –| + 1| > log (6) – log (2)
2 2 10/ /

/ ___________________
| 3 / 3 3 | 3 3
3| 1 / log (6) – log (2) | > log (6) – log (2)
log |- – + e |
5 /

Тогда
$$x < - frac{1}{2} + frac{1}{2} e^{sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}}}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > – frac{1}{2} + frac{1}{2} e^{sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}}}$$

_____
/
——-ο——-
x1

/ ___________________
| 3 / 3 3 |
| / log (6) – log (2) |
| 1 e |
And|x < oo, - - + ----------------------- < x| 2 2 /

$$x < infty wedge - frac{1}{2} + frac{1}{2} e^{sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}}} < x$$

___________________
3 / 3 3
/ log (6) – log (2)
1 e
(- – + ———————–, oo)
2 2

$$x in left(- frac{1}{2} + frac{1}{2} e^{sqrt[3]{- log^{3}{left (2 right )} + log^{3}{left (6 right )}}}, inftyright)$$