log(3)*(12-2*x-x^2)>2

$$left(- x^{2} + – 2 x + 12right) log{left (3 right )} > 2$$

Дано неравенство:
$$left(- x^{2} + – 2 x + 12right) log{left (3 right )} > 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(- x^{2} + – 2 x + 12right) log{left (3 right )} = 2$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$left(- x^{2} + – 2 x + 12right) log{left (3 right )} = 2$$
в
$$left(- x^{2} + – 2 x + 12right) log{left (3 right )} – 2 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$left(- x^{2} + – 2 x + 12right) log{left (3 right )} – 2 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- x^{2} log{left (3 right )} – 2 x log{left (3 right )} – 2 + 12 log{left (3 right )} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = – log{left (3 right )}$$
$$b = – 2 log{left (3 right )}$$
$$c = -2 + 12 log{left (3 right )}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-2*log(3))^2 – 4 * (-log(3)) * (-2 + 12*log(3)) = 4*log(3)^2 + 4*(-2 + 12*log(3))*log(3)

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(2 log{left (3 right )} + sqrt{4 log^{2}{left (3 right )} + 4 left(-2 + 12 log{left (3 right )}right) log{left (3 right )}}right)$$
$$x_{2} = – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(- sqrt{4 log^{2}{left (3 right )} + 4 left(-2 + 12 log{left (3 right )}right) log{left (3 right )}} + 2 log{left (3 right )}right)$$
$$x_{1} = – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(2 log{left (3 right )} + sqrt{4 log^{2}{left (3 right )} + 4 left(-2 + 12 log{left (3 right )}right) log{left (3 right )}}right)$$
$$x_{2} = – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(- sqrt{4 log^{2}{left (3 right )} + 4 left(-2 + 12 log{left (3 right )}right) log{left (3 right )}} + 2 log{left (3 right )}right)$$
$$x_{1} = – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(2 log{left (3 right )} + sqrt{4 log^{2}{left (3 right )} + 4 left(-2 + 12 log{left (3 right )}right) log{left (3 right )}}right)$$
$$x_{2} = – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(- sqrt{4 log^{2}{left (3 right )} + 4 left(-2 + 12 log{left (3 right )}right) log{left (3 right )}} + 2 log{left (3 right )}right)$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(2 log{left (3 right )} + sqrt{4 log^{2}{left (3 right )} + 4 left(-2 + 12 log{left (3 right )}right) log{left (3 right )}}right)$$
$$x_{2} = – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(- sqrt{4 log^{2}{left (3 right )} + 4 left(-2 + 12 log{left (3 right )}right) log{left (3 right )}} + 2 log{left (3 right )}right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

_______________________________________
/ 2
/ 4*log (3) + 4*(-2 + 12*log(3))*log(3) + 2*log(3) 1
– —————————————————– – —
1 10
2*log (3)

=
$$- frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(2 log{left (3 right )} + sqrt{4 log^{2}{left (3 right )} + 4 left(-2 + 12 log{left (3 right )}right) log{left (3 right )}}right) – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(- x^{2} + – 2 x + 12right) log{left (3 right )} > 2$$

/ 2
| / _______________________________________ / _______________________________________ |
| | / 2 | | / 2 | |
| | / 4*log (3) + 4*(-2 + 12*log(3))*log(3) + 2*log(3) 1 | | / 4*log (3) + 4*(-2 + 12*log(3))*log(3) + 2*log(3) 1 | |
log(3)*|12 – 2*|- —————————————————– – –| – |- —————————————————– – –| | > 2
| | 1 10| | 1 10| |
2*log (3) / 2*log (3) / /

/ 2
| / _______________________________________ _______________________________________ |
| | / 2 | / 2 |
|61 | 1 / 4*log (3) + 4*(-2 + 12*log(3))*log(3) + 2*log(3)| / 4*log (3) + 4*(-2 + 12*log(3))*log(3) + 2*log(3)| > 2
|– – |- — – —————————————————–| + —————————————————–|*log(3)
5 10 2*log(3) / log(3) /

Тогда
$$x < - frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(2 log{left (3 right )} + sqrt{4 log^{2}{left (3 right )} + 4 left(-2 + 12 log{left (3 right )}right) log{left (3 right )}}right)$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(2 log{left (3 right )} + sqrt{4 log^{2}{left (3 right )} + 4 left(-2 + 12 log{left (3 right )}right) log{left (3 right )}}right) wedge x < - frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(- sqrt{4 log^{2}{left (3 right )} + 4 left(-2 + 12 log{left (3 right )}right) log{left (3 right )}} + 2 log{left (3 right )}right)$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

$$x < -1 + frac{sqrt{-2 + log{left (1594323 right )}}}{sqrt{log{left (3 right )}}} wedge - frac{sqrt{-2 + log{left (1594323 right )}}}{sqrt{log{left (3 right )}}} - 1 < x$$

___________________ ___________________
/ -2 + log(1594323) / -2 + log(1594323)
(-1 – ———————, -1 + ———————)
________ ________
/ log(3) / log(3)

$$x in left(- frac{sqrt{-2 + log{left (1594323 right )}}}{sqrt{log{left (3 right )}}} – 1, -1 + frac{sqrt{-2 + log{left (1594323 right )}}}{sqrt{log{left (3 right )}}}right)$$