log(3)*(2*x+1)+log(3)*(x^2/32+1)>=log(3)*(x/16+1)

$$left(2 x + 1right) log{left (3 right )} + left(frac{x^{2}}{32} + 1right) log{left (3 right )} geq left(frac{x}{16} + 1right) log{left (3 right )}$$

Дано неравенство:
$$left(2 x + 1right) log{left (3 right )} + left(frac{x^{2}}{32} + 1right) log{left (3 right )} geq left(frac{x}{16} + 1right) log{left (3 right )}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(2 x + 1right) log{left (3 right )} + left(frac{x^{2}}{32} + 1right) log{left (3 right )} = left(frac{x}{16} + 1right) log{left (3 right )}$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$left(2 x + 1right) log{left (3 right )} + left(frac{x^{2}}{32} + 1right) log{left (3 right )} = left(frac{x}{16} + 1right) log{left (3 right )}$$
в
$$- left(frac{x}{16} + 1right) log{left (3 right )} + left(2 x + 1right) log{left (3 right )} + left(frac{x^{2}}{32} + 1right) log{left (3 right )} = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$- left(frac{x}{16} + 1right) log{left (3 right )} + left(2 x + 1right) log{left (3 right )} + left(frac{x^{2}}{32} + 1right) log{left (3 right )} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$frac{x^{2}}{32} log{left (3 right )} + frac{31 x}{16} log{left (3 right )} + log{left (3 right )} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = frac{1}{32} log{left (3 right )}$$
$$b = frac{31}{16} log{left (3 right )}$$
$$c = log{left (3 right )}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(31*log(3)/16)^2 – 4 * (log(3)/32) * (log(3)) = 929*log(3)^2/256

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{1}{log{left (3 right )}} left(- 31 log{left (3 right )} + sqrt{929} log{left (3 right )}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{log{left (3 right )}} left(- 31 log{left (3 right )} – sqrt{929} log{left (3 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{log{left (3 right )}} left(- 31 log{left (3 right )} + sqrt{929} log{left (3 right )}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{log{left (3 right )}} left(- 31 log{left (3 right )} – sqrt{929} log{left (3 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{log{left (3 right )}} left(- 31 log{left (3 right )} + sqrt{929} log{left (3 right )}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{log{left (3 right )}} left(- 31 log{left (3 right )} – sqrt{929} log{left (3 right )}right)$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{1}{log{left (3 right )}} left(- 31 log{left (3 right )} – sqrt{929} log{left (3 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{log{left (3 right )}} left(- 31 log{left (3 right )} + sqrt{929} log{left (3 right )}right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

/ _____
| 31*log(3) / 929 *log(3)|
16*|- ——— – ————–|
16 16 / 1
——————————— – —
1 10
log (3)

=
$$frac{1}{log{left (3 right )}} left(- 31 log{left (3 right )} – sqrt{929} log{left (3 right )}right) – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(2 x + 1right) log{left (3 right )} + left(frac{x^{2}}{32} + 1right) log{left (3 right )} geq left(frac{x}{16} + 1right) log{left (3 right )}$$

/ 2
|/ / _____ | / / _____
|| | 31*log(3) / 929 *log(3)| | | | | 31*log(3) / 929 *log(3)| |
||16*|- ——— – ————–| | | |16*|- ——— – ————–| |
/ / / _____ || 16 16 / 1 | | | 16 16 / 1 |
| | | 31*log(3) / 929 *log(3)| | | ||——————————— – –| | |——————————— – — |
| |16*|- ——— – ————–| | | || 1 10| | | 1 10 |
| | 16 16 / 1 | | | log (3) / | | log (3) |
log(3)*|2*|——————————— – –| + 1| + log(3)*|—————————————– + 1| >= log(3)*|————————————– + 1|
| | 1 10| | | 1 | | 1 |
log (3) / / 32 / 16 /

/ 2
| / / _____ | / _____
| | | 31*log(3) / 929 *log(3)|| | | 31*log(3) / 929 *log(3)|
| | 16*|- ——— – ————–|| | / / _____ | – ——— – ————–|
| | 1 16 16 /| | | | 31*log(3) / 929 *log(3)|| >= |159 16 16 |
| |- — + ———————————| | | 32*|- ——— – ————–|| |— + —————————-|*log(3)
| 10 log(3) / | |4 16 16 /| 160 log(3) /
|1 + ——————————————-|*log(3) + |- + ———————————|*log(3)
32 / 5 log(3) /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq frac{1}{log{left (3 right )}} left(- 31 log{left (3 right )} – sqrt{929} log{left (3 right )}right)$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq frac{1}{log{left (3 right )}} left(- 31 log{left (3 right )} – sqrt{929} log{left (3 right )}right)$$
$$x geq frac{1}{log{left (3 right )}} left(- 31 log{left (3 right )} + sqrt{929} log{left (3 right )}right)$$

$$left(x leq -31 – sqrt{929} wedge -infty < xright) vee left(-31 + sqrt{929} leq x wedge x < inftyright)$$

_____ _____
(-oo, -31 – / 929 ] U [-31 + / 929 , oo)

$$x in left(-infty, -31 – sqrt{929}right] cup left[-31 + sqrt{929}, inftyright)$$