log(3)^2*x^2+13*log(3)*x+3

$$x^{2} log^{2}{left (3 right )} + x 13 log{left (3 right )} + 3 < 0$$

Дано неравенство:
$$x^{2} log^{2}{left (3 right )} + x 13 log{left (3 right )} + 3 < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} log^{2}{left (3 right )} + x 13 log{left (3 right )} + 3 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = log^{2}{left (3 right )}$$
$$b = 13 log{left (3 right )}$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(13*log(3))^2 – 4 * (log(3)^2) * (3) = 157*log(3)^2

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} left(- 13 log{left (3 right )} + sqrt{157} log{left (3 right )}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} left(- 13 log{left (3 right )} – sqrt{157} log{left (3 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} left(- 13 log{left (3 right )} + sqrt{157} log{left (3 right )}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} left(- 13 log{left (3 right )} – sqrt{157} log{left (3 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} left(- 13 log{left (3 right )} + sqrt{157} log{left (3 right )}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} left(- 13 log{left (3 right )} – sqrt{157} log{left (3 right )}right)$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} left(- 13 log{left (3 right )} – sqrt{157} log{left (3 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} left(- 13 log{left (3 right )} + sqrt{157} log{left (3 right )}right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

_____
-13*log(3) – / 157 *log(3) 1
————————— – —
2 10
2*log (3)

=
$$frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} left(- 13 log{left (3 right )} – sqrt{157} log{left (3 right )}right) – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} log^{2}{left (3 right )} + x 13 log{left (3 right )} + 3 < 0$$

2
/ _____ / _____
2 |-13*log(3) – / 157 *log(3) 1 | |-13*log(3) – / 157 *log(3) 1 |
log (3)*|————————— – –| + 13*log(3)*|————————— – –| + 3 < 0 | 2 10| | 2 10| 2*log (3) / 2*log (3) /

2
/ _____ / _____
| 1 -13*log(3) – / 157 *log(3)| 2 | 1 -13*log(3) – / 157 *log(3)|
3 + |- — + —————————| *log (3) + 13*|- — + —————————|*log(3) < 0 | 10 2 | | 10 2 | 2*log (3) / 2*log (3) /

но

2
/ _____ / _____
| 1 -13*log(3) – / 157 *log(3)| 2 | 1 -13*log(3) – / 157 *log(3)|
3 + |- — + —————————| *log (3) + 13*|- — + —————————|*log(3) > 0
| 10 2 | | 10 2 |
2*log (3) / 2*log (3) /

Тогда
$$x < frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} left(- 13 log{left (3 right )} - sqrt{157} log{left (3 right )}right)$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} left(- 13 log{left (3 right )} – sqrt{157} log{left (3 right )}right) wedge x < frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} left(- 13 log{left (3 right )} + sqrt{157} log{left (3 right )}right)$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

$$x < frac{-13 + sqrt{157}}{2 log{left (3 right )}} wedge - frac{sqrt{157} + 13}{2 log{left (3 right )}} < x$$

/ _____ _____
-13 + / 157 / -13 + / 157
(—————-, ————-)
2*log(3) 2*log(3)

$$x in left(- frac{sqrt{157} + 13}{2 log{left (3 right )}}, frac{-13 + sqrt{157}}{2 log{left (3 right )}}right)$$