log(3*x^2-4*x+2)*1/log(9)+1>log(3*x^2-4*x+2)*1/log(3)

$$frac{1}{log{left (9 right )}} log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )} + 1 > frac{1}{log{left (3 right )}} log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )}$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{log{left (9 right )}} log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )} + 1 > frac{1}{log{left (3 right )}} log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{log{left (9 right )}} log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )} + 1 = frac{1}{log{left (3 right )}} log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{1}{log{left (9 right )}} log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )} + 1 = frac{1}{log{left (3 right )}} log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )}$$
преобразуем
$$frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(- log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )} + log{left (9 right )}right) = 0$$
$$frac{1}{log{left (3 right )} log{left (9 right )}} left(- log{left (9 right )} log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )} + log{left (3 right )} log{left (27 x^{2} – 36 x + 18 right )}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (9 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w log{left (3 right )}} left(- w log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )} + log{left (3 right )} log{left (27 x^{2} – 36 x + 18 right )}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w*log(3)
получим:
$$w left(- frac{1}{log{left (3 right )}} log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )} + frac{1}{w} log{left (27 x^{2} – 36 x + 18 right )}right) log{left (3 right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

wlog+18+36*x+27*x+2w – log2+4*x+3*x+2log3)*log3 = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

w*(log(18 – 36*x + 27*x^2)/w – log(2 – 4*x + 3*x^2)/log(3))*log(3) = 0

Разделим обе части ур-ния на (log(18 – 36*x + 27*x^2)/w – log(2 – 4*x + 3*x^2)/log(3))*log(3)

w = 0 / ((log(18 – 36*x + 27*x^2)/w – log(2 – 4*x + 3*x^2)/log(3))*log(3))

Получим ответ: w = log(3)*log(18 – 36*x + 27*x^2)/log(2 – 4*x + 3*x^2)
делаем обратную замену
$$log{left (9 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = frac{7}{3}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = frac{7}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = frac{7}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{log{left (9 right )}} log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )} + 1 > frac{1}{log{left (3 right )}} log{left (3 x^{2} – 4 x + 2 right )}$$

/ 2 / 2
| /-11 4*(-11) | | /-11 4*(-11) |
log|3*|—-| – ——- + 2| log|3*|—-| – ——- + 2|
10 / 10 / 10 / 10 /
—————————- + 1 > —————————-
1 1
log (9) log (3)

-log(100) + log(1003) -log(100) + log(1003)
1 + ——————— > ———————
log(9) log(3)

Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 wedge x < frac{7}{3}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

$$-1 < x wedge x < frac{7}{3}$$

(-1, 7/3)

$$x in left(-1, frac{7}{3}right)$$