log(4^(1/6)*log((x+3)/5))>=3

$$log{left (sqrt[6]{4} log{left (frac{1}{5} left(x + 3right) right )} right )} geq 3$$

Дано неравенство:
$$log{left (sqrt[6]{4} log{left (frac{1}{5} left(x + 3right) right )} right )} geq 3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log{left (sqrt[6]{4} log{left (frac{1}{5} left(x + 3right) right )} right )} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$log{left (sqrt[6]{4} log{left (frac{1}{5} left(x + 3right) right )} right )} = 3$$
преобразуем
$$log{left (log{left (x + 3 right )} – log{left (5 right )} right )} – 3 + frac{1}{3} log{left (2 right )} = 0$$
$$log{left (log{left (x + 3 right )} – log{left (5 right )} right )} – 3 + frac{1}{3} log{left (2 right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (log{left (x + 3 right )} – log{left (5 right )} right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-3 + w + log2/3 = 0

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w + frac{1}{3} log{left (2 right )} = 3$$
Разделим обе части ур-ния на (w + log(2)/3)/w

w = 3 / ((w + log(2)/3)/w)

Получим ответ: w = 3 – log(2)/3
делаем обратную замену
$$log{left (log{left (x + 3 right )} – log{left (5 right )} right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -3 + 5 e^{frac{2^{frac{2}{3}} e^{3}}{2}}$$
$$x_{1} = -3 + 5 e^{frac{2^{frac{2}{3}} e^{3}}{2}}$$
Данные корни
$$x_{1} = -3 + 5 e^{frac{2^{frac{2}{3}} e^{3}}{2}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + -3 + 5 e^{frac{2^{frac{2}{3}} e^{3}}{2}}$$
=
$$- frac{31}{10} + 5 e^{frac{2^{frac{2}{3}} e^{3}}{2}}$$
подставляем в выражение
$$log{left (sqrt[6]{4} log{left (frac{1}{5} left(x + 3right) right )} right )} geq 3$$
$$log{left (sqrt[6]{4} log{left (frac{1}{5} left(3 + – frac{1}{10} + -3 + 5 e^{frac{2^{frac{2}{3}} e^{3}}{2}}right) right )} right )} geq 3$$

/ / 2/3 3
| | 2 *e ||
| | ——-||
|3 ___ | 1 2 || >= 3
log|/ 2 *log|- — + e ||
50 //

но

/ / 2/3 3
| | 2 *e ||
| | ——-||
|3 ___ | 1 2 || < 3 log|/ 2 *log|- -- + e || 50 //

Тогда
$$x leq -3 + 5 e^{frac{2^{frac{2}{3}} e^{3}}{2}}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq -3 + 5 e^{frac{2^{frac{2}{3}} e^{3}}{2}}$$

_____
/
——-•——-
x1

$$-3 + 5 e^{frac{2^{frac{2}{3}} e^{3}}{2}} leq x wedge x < infty$$

2/3 3
2 *e
——-
2
[-3 + 5*e , oo)

$$x in left[-3 + 5 e^{frac{2^{frac{2}{3}} e^{3}}{2}}, inftyright)$$