log(49*x)^2

$$log^{2}{left (49 x right )} < 1$$

Дано неравенство:
$$log^{2}{left (49 x right )} < 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log^{2}{left (49 x right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$log^{2}{left (49 x right )} = 1$$
преобразуем
$$log^{2}{left (49 x right )} – 1 = 0$$
$$log^{2}{left (49 x right )} – 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (7 right )}$$
Дано уравнение
$$log^{2}{left (49 x right )} – 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 2 – содержит чётное число 2 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 2-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt{left(0 w + log{left (49 x right )}right)^{2}} = sqrt{1}$$
$$sqrt{left(0 w + log{left (49 x right )}right)^{2}} = -1 sqrt{1}$$
или
$$log{left (49 x right )} = 1$$
$$log{left (49 x right )} = -1$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log49*x = 1

Данное ур-ние не имеет решений
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log49*x = -1

Данное ур-ние не имеет решений
или

делаем обратную замену
$$log{left (7 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{e}{49}$$
$$x_{2} = frac{1}{49 e}$$
$$x_{1} = frac{e}{49}$$
$$x_{2} = frac{1}{49 e}$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{1}{49 e}$$
$$x_{1} = frac{e}{49}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{1}{49 e^{1}}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{1}{49 e}$$
подставляем в выражение
$$log^{2}{left (49 x right )} < 1$$
$$log^{2}{left (49 left(- frac{1}{10} + frac{1}{49 e^{1}}right) right )} < 1$$

2
/ /49 -1
|pi*I + log|– – e || < 1 10 //

Тогда
$$x < frac{1}{49 e}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{1}{49 e} wedge x < frac{e}{49}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

$$x < frac{e}{49} wedge frac{1}{49 e} < x$$

-1
e E
(—, –)
49 49

$$x in left(frac{1}{49 e}, frac{e}{49}right)$$