log(4*x-3)*1/log(1/7)>log(x+3)*1/log(1/7)

$$frac{log{left (4 x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}} > frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (4 x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}} > frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (4 x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}} = frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (4 x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}} = frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (7 right )}} left(log{left (x + 3 right )} – log{left (4 x – 3 right )}right) = 0$$
$$- frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}} + frac{log{left (4 x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (7 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}} + frac{log{left (4 x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(3 + x)

b1 = log(7)

a2 = log(-3 + 4*x)

b2 = log(7)

зн. получим ур-ние
$$log{left (7 right )} log{left (x + 3 right )} = log{left (7 right )} log{left (4 x – 3 right )}$$
$$log{left (7 right )} log{left (x + 3 right )} = log{left (7 right )} log{left (4 x – 3 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log7log3+x = log(7)*log(-3 + 4*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log7log3+x = log7log-3+4*x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (7 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{19}{10}$$
=
$$frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (4 x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}} > frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}}$$
$$frac{log{left (-3 + frac{76}{10} 1 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}} > frac{log{left (frac{19}{10} + 3 right )}}{log{left (frac{1}{7} right )}}$$

-(-log(5) + log(23)) -(-log(10) + log(49))
——————— > ———————-
log(7) log(7)

значит решение неравенства будет при:
$$x < 2$$

_____
——-ο——-
x1

$$-infty < x wedge x < 2$$

(-oo, 2)

$$x in left(-infty, 2right)$$