log(4*x^2+1)*1/log(1/5)

$$frac{log{left (4 x^{2} + 1 right )}}{log{left (frac{1}{5} right )}} < frac{1}{log{left (frac{1}{5} right )}} log{left (a + 4 a x^{2} - 40 x right )} + 2$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (4 x^{2} + 1 right )}}{log{left (frac{1}{5} right )}} < frac{1}{log{left (frac{1}{5} right )}} log{left (a + 4 a x^{2} - 40 x right )} + 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (4 x^{2} + 1 right )}}{log{left (frac{1}{5} right )}} = frac{1}{log{left (frac{1}{5} right )}} log{left (a + 4 a x^{2} – 40 x right )} + 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (4 x^{2} + 1 right )}}{log{left (frac{1}{5} right )}} = frac{1}{log{left (frac{1}{5} right )}} log{left (a + 4 a x^{2} – 40 x right )} + 2$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (5 right )}} left(- log{left (4 x^{2} + 1 right )} + log{left (4 a x^{2} + a – 40 x right )} – log{left (25 right )}right) = 0$$
$$- frac{1}{log{left (frac{1}{5} right )}} log{left (a + 4 a x^{2} – 40 x right )} – 2 + frac{log{left (4 x^{2} + 1 right )}}{log{left (frac{1}{5} right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (5 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{1}{log{left (frac{1}{5} right )}} log{left (a + 4 a x^{2} – 40 x right )} – 2 + frac{log{left (4 x^{2} + 1 right )}}{log{left (frac{1}{5} right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(a – 40*x + 4*a*x^2)

b1 = log(5)

a2 = 1

b2 = 1/(2 + log(1 + 4*x^2)/log(5))

зн. получим ур-ние
$$frac{log{left (4 a x^{2} + a – 40 x right )}}{frac{log{left (4 x^{2} + 1 right )}}{log{left (5 right )}} + 2} = log{left (5 right )}$$
$$frac{log{left (4 a x^{2} + a – 40 x right )}}{frac{log{left (4 x^{2} + 1 right )}}{log{left (5 right )}} + 2} = log{left (5 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

loga+40*x+4*a*x+22+log+1+4*x+2log5) = log(5)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

loga+40*x+4*a*x+22+log+1+4*x+2log5) = log5

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

log(a – 40*x + 4*a*x^2)/(2 + log(1 + 4*x^2)/log(5)) = log5

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (5 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{1}{2 a – 50} left(- sqrt{- a^{2} + 50 a – 525} + 10right)$$
$$x_{2} = frac{1}{2 a – 50} left(sqrt{- a^{2} + 50 a – 525} + 10right)$$
$$x_{1} = frac{1}{2 a – 50} left(- sqrt{- a^{2} + 50 a – 525} + 10right)$$
$$x_{2} = frac{1}{2 a – 50} left(sqrt{- a^{2} + 50 a – 525} + 10right)$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{2 a – 50} left(- sqrt{- a^{2} + 50 a – 525} + 10right)$$
$$x_{2} = frac{1}{2 a – 50} left(sqrt{- a^{2} + 50 a – 525} + 10right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

__________________
/ 2
10 – / -525 – a + 50*a 1
————————– – —
1 10
2*(-25 + a)

=
$$- frac{1}{10} + frac{1}{2 a – 50} left(- sqrt{- a^{2} + 50 a – 525} + 10right)$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (4 x^{2} + 1 right )}}{log{left (frac{1}{5} right )}} < frac{1}{log{left (frac{1}{5} right )}} log{left (a + 4 a x^{2} - 40 x right )} + 2$$

/ 2 / 2
| / __________________ | | / __________________ / __________________ |
| | / 2 | | | | / 2 | | / 2 | |
| |10 – / -525 – a + 50*a 1 | | | |10 – / -525 – a + 50*a 1 | |10 – / -525 – a + 50*a 1 | |
log|4*|————————– – –| + 1| log|4*a*|————————– – –| – 40*|————————– – –| + a|
| | 1 10| | | | 1 10| | 1 10| |
2*(-25 + a) / / 2*(-25 + a) / 2*(-25 + a) / /
——————————————— < 2 + -------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 log (1/5) log (1/5)

/ 2 / 2
| / __________________ | | / __________________ / __________________ |
| | / 2 | | | | / 2 | | / 2 | |
| | 1 10 – / -525 – a + 50*a | | | 20*10 – / -525 – a + 50*a / | 1 10 – / -525 – a + 50*a | |
-log|1 + 4*|- — + ————————–| | < log|4 + a - ------------------------------- + 4*a*|- -- + --------------------------| | 10 2*(-25 + a) / / -25 + a 10 2*(-25 + a) / / ------------------------------------------------- 2 - --------------------------------------------------------------------------------------- log(5) log(5)

Тогда
$$x < frac{1}{2 a - 50} left(- sqrt{- a^{2} + 50 a - 525} + 10right)$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{1}{2 a – 50} left(- sqrt{- a^{2} + 50 a – 525} + 10right) wedge x < frac{1}{2 a - 50} left(sqrt{- a^{2} + 50 a - 525} + 10right)$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2