log(5+2*sqrt(6))+log(3*1/(8*x^2-6))>0

$$log{left (frac{3}{8 x^{2} – 6} right )} + log{left (2 sqrt{6} + 5 right )} > 0$$

Дано неравенство:
$$log{left (frac{3}{8 x^{2} – 6} right )} + log{left (2 sqrt{6} + 5 right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log{left (frac{3}{8 x^{2} – 6} right )} + log{left (2 sqrt{6} + 5 right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$log{left (frac{3}{8 x^{2} – 6} right )} + log{left (2 sqrt{6} + 5 right )} = 0$$
преобразуем
$$- log{left (8 x^{2} – 6 right )} + log{left (6 sqrt{6} + 15 right )} = 0$$
$$- log{left (8 x^{2} – 6 right )} + log{left (3 right )} + log{left (2 sqrt{6} + 5 right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (8 x^{2} – 6 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-w + log3 + log5+2*sqrt+6) = 0

Разделим обе части ур-ния на (-w + log(3) + log(5 + 2*sqrt(6)))/w

w = 0 / ((-w + log(3) + log(5 + 2*sqrt(6)))/w)

Получим ответ: w = log(15 + 6*sqrt(6))
делаем обратную замену
$$log{left (8 x^{2} – 6 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = – frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42}$$
$$x_{2} = frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42}$$
$$x_{1} = – frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42}$$
$$x_{2} = frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42}$$
$$x_{2} = frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

_______________
/ ___
/ 42 + 12*/ 6 1
– —————— – —
4 10

=
$$- frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$log{left (frac{3}{8 x^{2} – 6} right )} + log{left (2 sqrt{6} + 5 right )} > 0$$

/ ___ / 3
log5 + 2*/ 6 / + log|————————————-| > 0
| 1|
|/ 2 |
|| / _______________ | |
|| | / ___ | | |
|| | / 42 + 12*/ 6 1 | | |
||8*|- —————— – –| – 6| |
4 10/ / /

/ 3 / ___
log|———————————–| + log5 + 2*/ 6 /
| 2|
| / _______________ |
| | / ___ | | > 0
| | 1 / 42 + 12*/ 6 | |
|-6 + 8*|- — – ——————| |
10 4 / /

Тогда
$$x < - frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42} wedge x < frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

$$left(frac{sqrt{3}}{2} < x wedge x < frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42}right) vee left(x < - frac{sqrt{3}}{2} wedge - frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42} < xright)$$

_______________ _______________
/ ___ ___ ___ / ___
-/ 42 + 12*/ 6 -/ 3 / 3 / 42 + 12*/ 6
(——————–, ——-) U (—–, ——————)
4 2 2 4

$$x in left(- frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42}, – frac{sqrt{3}}{2}right) cup left(frac{sqrt{3}}{2}, frac{1}{4} sqrt{12 sqrt{6} + 42}right)$$