log(5)^2*(x-4)^2*(x-3)*1/48>log(5)^2*(x-1)

$$frac{1}{48} left(x – 4right)^{2} left(x – 3right) log^{2}{left (5 right )} > left(x – 1right) log^{2}{left (5 right )}$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{48} left(x – 4right)^{2} left(x – 3right) log^{2}{left (5 right )} > left(x – 1right) log^{2}{left (5 right )}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{48} left(x – 4right)^{2} left(x – 3right) log^{2}{left (5 right )} = left(x – 1right) log^{2}{left (5 right )}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$frac{1}{48} left(x – 4right)^{2} left(x – 3right) log^{2}{left (5 right )} = left(x – 1right) log^{2}{left (5 right )}$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$frac{x}{48} left(x^{2} – 11 x – 8right) log^{2}{left (5 right )} = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$frac{x}{48} log^{2}{left (5 right )} = 0$$
$$x^{2} – 11 x – 8 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$frac{x}{48} log^{2}{left (5 right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*log5^2/48 = 0

Разделим обе части ур-ния на log(5)^2/48

x = 0 / (log(5)^2/48)

Получим ответ: x1 = 0
2.
$$x^{2} – 11 x – 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{3} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -11$$
$$c = -8$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-11)^2 – 4 * (1) * (-8) = 153

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = frac{11}{2} + frac{3 sqrt{17}}{2}$$
$$x_{3} = – frac{3 sqrt{17}}{2} + frac{11}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = frac{11}{2} + frac{3 sqrt{17}}{2}$$
$$x_{3} = – frac{3 sqrt{17}}{2} + frac{11}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = frac{11}{2} + frac{3 sqrt{17}}{2}$$
$$x_{3} = – frac{3 sqrt{17}}{2} + frac{11}{2}$$
Данные корни
$$x_{3} = – frac{3 sqrt{17}}{2} + frac{11}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = frac{11}{2} + frac{3 sqrt{17}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} – frac{1}{10}$$
=

____
11 3*/ 17 1
— – ——– – —
2 2 10

=
$$- frac{3 sqrt{17}}{2} + frac{27}{5}$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{48} left(x – 4right)^{2} left(x – 3right) log^{2}{left (5 right )} > left(x – 1right) log^{2}{left (5 right )}$$

2
/ ____ / ____
2 |11 3*/ 17 1 | |11 3*/ 17 1 |
log (5)*|– – ——– – — – 4| *|– – ——– – — – 3| / ____
2 2 10 / 2 2 10 / 2 |11 3*/ 17 1 |
———————————————————- > log (5)*|– – ——– – — – 1|
48 2 2 10 /

2
/ ____ / ____ / ____
|7 3*/ 17 | 2 |12 3*/ 17 | 2 |22 3*/ 17 |
|- – ——–| *log (5)*|– – ——–| > log (5)*|– – ——–|
5 2 / 5 2 / 5 2 /
—————————————
48

Тогда
$$x < - frac{3 sqrt{17}}{2} + frac{11}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – frac{3 sqrt{17}}{2} + frac{11}{2} wedge x < 0$$

_____ _____
/ /
——-ο——-ο——-ο——-
x3 x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > – frac{3 sqrt{17}}{2} + frac{11}{2} wedge x < 0$$
$$x > frac{11}{2} + frac{3 sqrt{17}}{2}$$

$$left(x < 0 wedge - frac{3 sqrt{17}}{2} + frac{11}{2} < xright) vee left(x < infty wedge frac{11}{2} + frac{3 sqrt{17}}{2} < xright)$$

____ ____
11 3*/ 17 11 3*/ 17
(– – ——–, 0) U (– + ——–, oo)
2 2 2 2

$$x in left(- frac{3 sqrt{17}}{2} + frac{11}{2}, 0right) cup left(frac{11}{2} + frac{3 sqrt{17}}{2}, inftyright)$$