log(6/5)*1/log(25^|x|+7*5^|x|+30)>=log(6/5)*1/log(-5^|x|+25)

$$frac{log{left (frac{6}{5} right )}}{log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}} geq frac{log{left (frac{6}{5} right )}}{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (frac{6}{5} right )}}{log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}} geq frac{log{left (frac{6}{5} right )}}{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (frac{6}{5} right )}}{log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}} = frac{log{left (frac{6}{5} right )}}{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (frac{6}{5} right )}}{log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}} = frac{log{left (frac{6}{5} right )}}{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}}$$
преобразуем
$$frac{left(- log{left (5 right )} + log{left (6 right )}right) left(log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )} – log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}right)}{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )} log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}} = 0$$
$$frac{log{left (frac{6}{5} right )}}{log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}} – frac{log{left (frac{6}{5} right )}}{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{log{left (frac{6}{5} right )}}{log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}} – frac{log{left (frac{6}{5} right )}}{log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -log(5) + log(6)

b1 = log(30 + 25^|x| + 7*5^|x|)

a2 = -log(5) + log(6)

b2 = log(25 – 5^|x|)

зн. получим ур-ние
$$left(- log{left (5 right )} + log{left (6 right )}right) log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )} = left(- log{left (5 right )} + log{left (6 right )}right) log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}$$
$$left(- log{left (5 right )} + log{left (6 right )}right) log{left (- 5^{left|{x}right|} + 25 right )} = left(- log{left (5 right )} + log{left (6 right )}right) log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-log+5 + log6)*log25+5+x = (-log(5) + log(6))*log(30 + 25^|x| + 7*5^|x|)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-log+5 + log6)*log25+5+x = -log+5 + log6)*log30+25+x+7*5+x

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

(-log(5) + log(6))*log(25 – 5^|x|) = -log+5 + log6)*log30+25+x+7*5+x

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

(-log(5) + log(6))*log(25 – 5^|x|) = (-log(5) + log(6))*log(30 + 25^|x| + 7*5^|x|)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (25^{left|{x}right|} + 7 cdot 5^{left|{x}right|} + 30 right )} = w$$
подставляем w:

False

Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

log(6/5) log(6/5)
————————- >= —————–
1/ |0| |0| 1/ |0|
log 25 + 7*5 + 30/ log – 5 + 25/

-log(5) + log(6) -log(5) + log(6)
—————- >= —————-
log(38) log(24)

но

-log(5) + log(6) -log(5) + log(6)
—————- < ---------------- log(38) log(24)

зн. неравенство не имеет решений