log(64)*1/log(4^(x-5))*1/(log(-256*x)*1/log(4^(x-5)))

$$frac{log{left (64 right )} frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}}}{frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}} log{left (- 256 x right )}} leq frac{1}{frac{1}{log{left (4 right )}} log{left (frac{log{left (4^{x} right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (64 right )} frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}}}{frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}} log{left (- 256 x right )}} leq frac{1}{frac{1}{log{left (4 right )}} log{left (frac{log{left (4^{x} right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (64 right )} frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}}}{frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}} log{left (- 256 x right )}} = frac{1}{frac{1}{log{left (4 right )}} log{left (frac{log{left (4^{x} right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (64 right )} frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}}}{frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}} log{left (- 256 x right )}} = frac{1}{frac{1}{log{left (4 right )}} log{left (frac{log{left (4^{x} right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} right )}}$$
преобразуем
$$- frac{log{left (4 right )}}{log{left (- frac{log{left (4^{x} right )}}{log{left (4 right )}} right )}} + frac{log{left (64 right )}}{log{left (- 256 x right )}} = 0$$
$$frac{log{left (64 right )} frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}}}{frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}} log{left (- 256 x right )}} – frac{log{left (4 right )}}{log{left (frac{log{left (4^{x} right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (- frac{log{left (4^{x} right )}}{log{left (4 right )}} right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{log{left (64 right )} frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}}}{frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}} log{left (- 256 x right )}} – frac{log{left (4 right )}}{log{left (frac{log{left (4^{x} right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(64)

b1 = log(-256*x)

a2 = log(4)

b2 = log(-log(4^x)/log(4))

зн. получим ур-ние
$$log{left (64 right )} log{left (- frac{log{left (4^{x} right )}}{log{left (4 right )}} right )} = log{left (4 right )} log{left (- 256 x right )}$$
$$log{left (64 right )} log{left (- frac{log{left (4^{x} right )}}{log{left (4 right )}} right )} = log{left (4 right )} log{left (- 256 x right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log64log-log+4+xlog4) = log(4)*log(-256*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log64log-log+4+xlog4) = log4log-256*x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (- frac{log{left (4^{x} right )}}{log{left (4 right )}} right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -16$$
$$x_{1} = -16$$
Данные корни
$$x_{1} = -16$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{161}{10}$$
=
$$- frac{161}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (64 right )} frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}}}{frac{1}{log{left (4^{x – 5} right )}} log{left (- 256 x right )}} leq frac{1}{frac{1}{log{left (4 right )}} log{left (frac{log{left (4^{x} right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} right )}}$$

/ log(64)
|—————-|
| / 161 |
| | – — – 5||
| 1| 10 ||
log 4 // 1
——————- <= ---------------- 1 / / / 1 / /-256*(-161) | |log|----||| |log|-----------|| | | | 161||| | 10 /| | | | ---||| |----------------| | | | 10||| | / 161 | | | 4 /|| | | - --- - 5|| |log|---------|| | 1| 10 || | | 1 || log 4 // | log (1/4)/| |--------------| | 1 | log (4) /

log(4)
———————-
/ / 4/5
log(64) | | 2 | |
——————– <= |-log|----------| | -log(5) + log(20608) | 8589934592/ | log|-----------------| log(4) /

но

log(4)
———————-
/ / 4/5
log(64) | | 2 | |
——————– >= |-log|———-| |
-log(5) + log(20608) | 8589934592/ |
log|—————–|
log(4) /

Тогда
$$x leq -16$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq -16$$

_____
/
——-•——-
x1

$$left(-16 leq x wedge x < - frac{1}{256}right) vee left(- frac{1}{256} < x wedge x < inftyright)$$

[-16, -1/256) U (-1/256, oo)

$$x in left[-16, – frac{1}{256}right) cup left(- frac{1}{256}, inftyright)$$