log(8*x^2-23*x+15)*(2*x-2)

$$left(2 x – 2right) log{left (8 x^{2} – 23 x + 15 right )} leq 0$$

Дано неравенство:
$$left(2 x – 2right) log{left (8 x^{2} – 23 x + 15 right )} leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(2 x – 2right) log{left (8 x^{2} – 23 x + 15 right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$left(2 x – 2right) log{left (8 x^{2} – 23 x + 15 right )} = 0$$
преобразуем
$$2 left(x – 1right) log{left (8 x^{2} – 23 x + 15 right )} = 0$$
$$left(2 x – 2right) log{left (8 x^{2} – 23 x + 15 right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (8 x^{2} – 23 x + 15 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w-2+2*x = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

w*(-2 + 2*x) = 0

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w left(2 x – 2right) + 2 = 2$$
Разделим обе части ур-ния на (2 + w*(-2 + 2*x))/w

w = 2 / ((2 + w*(-2 + 2*x))/w)

Получим ответ: w = 0
делаем обратную замену
$$log{left (8 x^{2} – 23 x + 15 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{7}{8}$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = frac{7}{8}$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{7}{8}$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{31}{40}$$
=
$$frac{31}{40}$$
подставляем в выражение
$$left(2 x – 2right) log{left (8 x^{2} – 23 x + 15 right )} leq 0$$

/ 2
| /31 23*31 | /2*31
log|8*|–| – —– + 15|*|—- – 2| <= 0 40/ 40 / 40 /

9*log(99) 9*log(50)
– ——— + ——— <= 0 20 20

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq frac{7}{8}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-•——-
x1 x2 x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq frac{7}{8}$$
$$x geq 1 wedge x leq 2$$

$$left(x leq frac{7}{8} wedge -infty < xright) vee x = 1 vee x = 2$$

(-oo, 7/8] U {1, 2}

$$x in left(-infty, frac{7}{8}right] cup left{1, 2right}$$