log(9*x)*1/log(27)

$$frac{log{left (9 x right )}}{log{left (27 right )}} < frac{3}{log{left (x right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (9 x right )}}{log{left (27 right )}} < frac{3}{log{left (x right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (9 x right )}}{log{left (27 right )}} = frac{3}{log{left (x right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (9 x right )}}{log{left (27 right )}} = frac{3}{log{left (x right )}}$$
преобразуем
$$frac{log{left (x right )} log{left (9 x right )} – log{left (19683 right )}}{log{left (27 right )} log{left (x right )}} = 0$$
$$frac{log{left (x right )} log{left (9 x right )} – log{left (19683 right )}}{log{left (27 right )} log{left (x right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w log{left (27 right )}} left(w log{left (9 x right )} – log{left (19683 right )}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w*log(27)
получим:
$$w log{left (9 x right )} – log{left (19683 right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-log19683 + w*log9*x = 0

Разделим обе части ур-ния на (-log(19683) + w*log(9*x))/w

w = 0 / ((-log(19683) + w*log(9*x))/w)

Получим ответ: w = log(19683)/log(9*x)
делаем обратную замену
$$log{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x right )} = w$$
$$log{left (x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x = e

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{1}{3 e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}}$$
$$x_{2} = frac{1}{3} e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}$$
$$x_{1} = frac{1}{3 e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}}$$
$$x_{2} = frac{1}{3} e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{3 e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}}$$
$$x_{2} = frac{1}{3} e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

____________ ________
-/ 9 + log(3) */ log(3)
e 1
————————— – —
3 10

=
$$- frac{1}{10} + frac{1}{3 e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (9 x right )}}{log{left (27 right )}} < frac{3}{log{left (x right )}}$$

/ / ____________ ________
| | -/ 9 + log(3) */ log(3) ||
| |e 1 ||
log|9*|————————— – –||
3 10// 3
—————————————– < -------------------------------------- 1 / ____________ ________ log (27) | -/ 9 + log(3) */ log(3) | 1|e 1 | log |--------------------------- - --| 3 10/

/ ____________ ________ 3
|9 -/ 9 + log(3) */ log(3) | ——————————————–
pi*I + log|– – 3*e | / ____________ ________
10 / < | -/ 9 + log(3) */ log(3) | ---------------------------------------------- |1 e | log(27) pi*I + log|-- - ---------------------------| 10 3 /

Тогда
$$x < frac{1}{3 e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{1}{3 e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}} wedge x < frac{1}{3} e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

$$left(-infty < x wedge x < frac{1}{3 e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}}right) vee left(1 < x wedge x < frac{1}{3} e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}right)$$

____________ ________ ____________ ________
-/ 9 + log(3) */ log(3) / 9 + log(3) */ log(3)
e e
(-oo, —————————) U (1, ————————–)
3 3

$$x in left(-infty, frac{1}{3 e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}}right) cup left(1, frac{1}{3} e^{sqrt{log{left (3 right )} + 9} sqrt{log{left (3 right )}}}right)$$