log(9*x)*1/log(27)

$$frac{log{left (9 x right )}}{log{left (27 right )}} leq frac{1}{log{left (3 right )} frac{1}{log{left (x right )}}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (9 x right )}}{log{left (27 right )}} leq frac{1}{log{left (3 right )} frac{1}{log{left (x right )}}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (9 x right )}}{log{left (27 right )}} = frac{1}{log{left (3 right )} frac{1}{log{left (x right )}}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (9 x right )}}{log{left (27 right )}} = frac{1}{log{left (3 right )} frac{1}{log{left (x right )}}}$$
преобразуем
$$frac{log^{2}{left (x right )} + log{left (9 right )} log{left (x right )} – 3}{3 log{left (3 right )} log{left (x right )}} = 0$$
$$frac{log{left (3 right )} log{left (x right )} log{left (9 x right )} – log{left (27 right )}}{log{left (3 right )} log{left (27 right )} log{left (x right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{w log{left (3 right )} log{left (9 x right )} – log{left (27 right )}}{w log{left (3 right )} log{left (27 right )}} = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w*log(3)*log(27)
получим:
$$frac{1}{3} left(w log{left (x right )} + w log{left (9 right )} – 3right) log{left (27 right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-3+w*log+9 + w*logx)*log27/3 = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

(-3 + w*log(9) + w*log(x))*log(27)/3 = 0

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$frac{1}{3} left(w log{left (x right )} + w log{left (9 right )} – 3right) log{left (27 right )} + 3 = 3$$
Разделим обе части ур-ния на (3 + (-3 + w*log(9) + w*log(x))*log(27)/3)/w

w = 3 / ((3 + (-3 + w*log(9) + w*log(x))*log(27)/3)/w)

Получим ответ: w = 3/(log(9) + log(x))
делаем обратную замену
$$log{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x right )} = w$$
$$log{left (x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x = e

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{29}{10}$$
=
$$frac{29}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (9 x right )}}{log{left (27 right )}} leq frac{1}{log{left (3 right )} frac{1}{log{left (x right )}}}$$
$$frac{log{left (frac{261}{10} 1 right )}}{log{left (27 right )}} leq frac{1}{frac{1}{log{left (frac{29}{10} right )}} log{left (3 right )}}$$

-log(10) + log(261) -log(10) + log(29)
——————- <= ------------------ log(27) log(3)

но

-log(10) + log(261) -log(10) + log(29)
——————- >= ——————
log(27) log(3)

Тогда
$$x leq 3$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq 3$$

_____
/
——-•——-
x1

$$3 leq x wedge x < infty$$

[3, oo)

$$x in left[3, inftyright)$$