log(x+3)*1/log(49)-log(x+2)*1/log(7)

$$- frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (7 right )}} + frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (49 right )}} < 0$$

Дано неравенство:
$$- frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (7 right )}} + frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (49 right )}} < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (7 right )}} + frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (49 right )}} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (7 right )}} + frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (49 right )}} = 0$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (7 right )}} left(- log{left (x + 2 right )} + frac{1}{2} log{left (x + 3 right )}right) = 0$$
$$frac{1}{log{left (7 right )} log{left (49 right )}} left(- log{left (49 right )} log{left (x + 2 right )} + log{left (7 right )} log{left (x + 3 right )}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (49 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w log{left (7 right )}} left(- w log{left (x + 2 right )} + log{left (7 right )} log{left (x + 3 right )}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w*log(7)
получим:
$$w left(- frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (7 right )}} + frac{1}{w} log{left (x + 3 right )}right) log{left (7 right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

wlog+3+xw – log2+xlog7)*log7 = 0

Разделим обе части ур-ния на (log(3 + x)/w – log(2 + x)/log(7))*log(7)

w = 0 / ((log(3 + x)/w – log(2 + x)/log(7))*log(7))

Получим ответ: w = log(7)*log(3 + x)/log(2 + x)
делаем обратную замену
$$log{left (49 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = – frac{3}{2} + frac{sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = – frac{3}{2} + frac{sqrt{5}}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{3}{2} + frac{sqrt{5}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{3}{2} + frac{sqrt{5}}{2} + – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{8}{5} + frac{sqrt{5}}{2}$$
подставляем в выражение
$$- frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (7 right )}} + frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (49 right )}} < 0$$

/ ___ / ___
| 3 / 5 1 | | 3 / 5 1 |
log|- – + —– – — + 3| log|- – + —– – — + 2|
2 2 10 / 2 2 10 /
————————- – ————————- < 0 1 1 log (49) log (7)

/ ___ / ___
|7 / 5 | |2 / 5 |
log|- + —–| log|- + —–|
5 2 / 5 2 / < 0 -------------- - -------------- log(49) log(7)

но

/ ___ / ___
|7 / 5 | |2 / 5 |
log|- + —–| log|- + —–|
5 2 / 5 2 / > 0
————– – ————–
log(49) log(7)

Тогда
$$x < - frac{3}{2} + frac{sqrt{5}}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > – frac{3}{2} + frac{sqrt{5}}{2}$$

_____
/
——-ο——-
x1

$$x < infty wedge - frac{3}{2} + frac{sqrt{5}}{2} < x$$

___
3 / 5
(- – + —–, oo)
2 2

$$x in left(- frac{3}{2} + frac{sqrt{5}}{2}, inftyright)$$