log(x+3)*1/log(49)-log(x+2)*1/log(7)<0

Дано

$$- \frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (7 \right )}} + \frac{\log{\left (x + 3 \right )}}{\log{\left (49 \right )}} < 0$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$- \frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (7 \right )}} + \frac{\log{\left (x + 3 \right )}}{\log{\left (49 \right )}} < 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (7 \right )}} + \frac{\log{\left (x + 3 \right )}}{\log{\left (49 \right )}} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (7 \right )}} + \frac{\log{\left (x + 3 \right )}}{\log{\left (49 \right )}} = 0$$
преобразуем
$$\frac{1}{\log{\left (7 \right )}} \left(- \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 3 \right )}\right) = 0$$
$$\frac{1}{\log{\left (7 \right )} \log{\left (49 \right )}} \left(- \log{\left (49 \right )} \log{\left (x + 2 \right )} + \log{\left (7 \right )} \log{\left (x + 3 \right )}\right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (49 \right )}$$
Дано уравнение:
$$\frac{1}{w \log{\left (7 \right )}} \left(- w \log{\left (x + 2 \right )} + \log{\left (7 \right )} \log{\left (x + 3 \right )}\right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w*log(7)
получим:
$$w \left(- \frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (7 \right )}} + \frac{1}{w} \log{\left (x + 3 \right )}\right) \log{\left (7 \right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

wlog+3+xw — log2+xlog7)*log7 = 0

Разделим обе части ур-ния на (log(3 + x)/w — log(2 + x)/log(7))*log(7)

w = 0 / ((log(3 + x)/w — log(2 + x)/log(7))*log(7))

Получим ответ: w = log(7)*log(3 + x)/log(2 + x)
делаем обратную замену
$$\log{\left (49 \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{8}{5} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
подставляем в выражение
$$- \frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (7 \right )}} + \frac{\log{\left (x + 3 \right )}}{\log{\left (49 \right )}} < 0$$

/ ___ / ___
| 3 / 5 1 | | 3 / 5 1 |
log|- — + —— — — + 3| log|- — + —— — — + 2|
2 2 10 / 2 2 10 /
————————- — ————————- < 0 1 1 log (49) log (7)

/ ___ / ___
|7 / 5 | |2 / 5 |
log|- + ——| log|- + ——|
5 2 / 5 2 / < 0 -------------- - -------------- log(49) log(7)

но

/ ___ / ___
|7 / 5 | |2 / 5 |
log|- + ——| log|- + ——|
5 2 / 5 2 / > 0
————— — —————
log(49) log(7)

Тогда
$$x < - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

_____
/
——-ο——-
x1

Ответ
Читайте также  (x+5)^2<15
$$x < \infty \wedge - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} < x$$
Ответ №2

___
3 / 5
(- — + ——, oo)
2 2

$$x \in \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...