log(x+3)*1/log(9/4)>-1/2

$$frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (frac{9}{4} right )}} > – frac{1}{2}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (frac{9}{4} right )}} > – frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (frac{9}{4} right )}} = – frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (frac{9}{4} right )}} = – frac{1}{2}$$
$$frac{log{left (x + 3 right )}}{- log{left (4 right )} + log{left (9 right )}} = – frac{1}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при log =1/(-log(4) + log(9))
$$log{left (x + 3 right )} = – frac{1}{2} log{left (9 right )} + frac{1}{2} log{left (4 right )}$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$x + 3 = e^{- – frac{1}{2} log{left (4 right )} + frac{1}{2} log{left (9 right )}}$$
упрощаем
$$x + 3 = frac{2}{3}$$
$$x = – frac{7}{3}$$
$$x_{1} = – frac{7}{3}$$
$$x_{1} = – frac{7}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{7}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{73}{30}$$
=
$$- frac{73}{30}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (x + 3 right )}}{log{left (frac{9}{4} right )}} > – frac{1}{2}$$
$$frac{log{left (- frac{73}{30} + 3 right )}}{log{left (frac{9}{4} right )}} > – frac{1}{2}$$

-log(30) + log(17)
—————— > -1/2
-log(4) + log(9)

Тогда
$$x < - frac{7}{3}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > – frac{7}{3}$$

_____
/
——-ο——-
x1

$$- frac{7}{3} < x wedge x < infty$$

(-7/3, oo)

$$x in left(- frac{7}{3}, inftyright)$$