log(x+4)*1/log(7)>=-1/2

$$frac{log{left (x + 4 right )}}{log{left (7 right )}} geq – frac{1}{2}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (x + 4 right )}}{log{left (7 right )}} geq – frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (x + 4 right )}}{log{left (7 right )}} = – frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (x + 4 right )}}{log{left (7 right )}} = – frac{1}{2}$$
$$frac{log{left (x + 4 right )}}{log{left (7 right )}} = – frac{1}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при log =1/log(7)
$$log{left (x + 4 right )} = – frac{1}{2} log{left (7 right )}$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$x + 4 = e^{- frac{1}{2} log{left (7 right )}}$$
упрощаем
$$x + 4 = frac{sqrt{7}}{7}$$
$$x = -4 + frac{sqrt{7}}{7}$$
$$x_{1} = -4 + frac{sqrt{7}}{7}$$
$$x_{1} = -4 + frac{sqrt{7}}{7}$$
Данные корни
$$x_{1} = -4 + frac{sqrt{7}}{7}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$-4 + frac{sqrt{7}}{7} + – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{41}{10} + frac{sqrt{7}}{7}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (x + 4 right )}}{log{left (7 right )}} geq – frac{1}{2}$$
$$frac{1}{log{left (7 right )}} log{left (-4 + frac{sqrt{7}}{7} + – frac{1}{10} + 4 right )} geq – frac{1}{2}$$

/ ___
| 1 / 7 |
log|- — + —–|
10 7 / >= -1/2
—————–
log(7)

но

/ ___
| 1 / 7 |
log|- — + —–|
10 7 / < -1/2 ----------------- log(7)

Тогда
$$x leq -4 + frac{sqrt{7}}{7}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq -4 + frac{sqrt{7}}{7}$$

_____
/
——-•——-
x1

$$-4 + frac{sqrt{7}}{7} leq x wedge x < infty$$

___
/ 7
[-4 + —–, oo)
7

$$x in left[-4 + frac{sqrt{7}}{7}, inftyright)$$