log(x)*1/log(1/2)*(2*x+9)^2>=-2*log(3*x+17)*1/log(7)

$$frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} left(2 x + 9right)^{2} geq frac{1}{log{left (7 right )}} left(-1 cdot 2 log{left (3 x + 17 right )}right)$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} left(2 x + 9right)^{2} geq frac{1}{log{left (7 right )}} left(-1 cdot 2 log{left (3 x + 17 right )}right)$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} left(2 x + 9right)^{2} = frac{1}{log{left (7 right )}} left(-1 cdot 2 log{left (3 x + 17 right )}right)$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} left(2 x + 9right)^{2} = frac{1}{log{left (7 right )}} left(-1 cdot 2 log{left (3 x + 17 right )}right)$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (2 right )} log{left (7 right )}} left(- left(2 x + 9right)^{2} log{left (7 right )} log{left (x right )} + log{left (4 right )} log{left (3 x + 17 right )}right) = 0$$
$$frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} left(2 x + 9right)^{2} – – frac{2 log{left (3 x + 17 right )}}{log{left (7 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (2 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} left(2 x + 9right)^{2} – – frac{2 log{left (3 x + 17 right )}}{log{left (7 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = 2*log(17 + 3*x)

b1 = log(7)

a2 = (9 + 2*x)^2*log(x)

b2 = log(2)

зн. получим ур-ние
$$log{left (2 right )} 2 log{left (3 x + 17 right )} = left(2 x + 9right)^{2} log{left (x right )} log{left (7 right )}$$
$$2 log{left (2 right )} log{left (3 x + 17 right )} = left(2 x + 9right)^{2} log{left (7 right )} log{left (x right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

2*log2log17+3*x = (9 + 2*x)^2*log(7)*log(x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

2*log2log17+3*x = 9+2*x^2*log7logx

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (2 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -4.70548107262 – 0.11237622622 i$$
$$x_{2} = -4.70548107262 + 0.11237622622 i$$
$$x_{3} = 1.0176953364$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 1.0176953364$$
Данные корни
$$x_{1} = 1.0176953364$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$0.9176953364$$
=
$$0.9176953364$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} left(2 x + 9right)^{2} geq frac{1}{log{left (7 right )}} left(-1 cdot 2 log{left (3 x + 17 right )}right)$$
$$frac{log{left (0.9176953364 right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} left(0.9176953364 cdot 2 + 9right)^{2} geq frac{1}{log{left (7 right )}} left(-1 cdot 2 log{left (0.9176953364 cdot 3 + 17 right )}right)$$

10.0839537877364 -5.96661946554237
—————- >= —————–
log(2) log(7)

значит решение неравенства будет при:
$$x leq 1.0176953364$$

_____
——-•——-
x1