log(x^4-4*x^2+4)^2+4*log(2*x^2-4)-12>=0

$$4 log{left (2 x^{2} – 4 right )} + log^{2}{left (x^{4} – 4 x^{2} + 4 right )} – 12 geq 0$$

Дано неравенство:
$$4 log{left (2 x^{2} – 4 right )} + log^{2}{left (x^{4} – 4 x^{2} + 4 right )} – 12 geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4 log{left (2 x^{2} – 4 right )} + log^{2}{left (x^{4} – 4 x^{2} + 4 right )} – 12 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$4 log{left (2 x^{2} – 4 right )} + log^{2}{left (x^{4} – 4 x^{2} + 4 right )} – 12 = 0$$
преобразуем
$$log{left (16 left(x^{2} – 2right)^{4} right )} + log^{2}{left (x^{4} – 4 x^{2} + 4 right )} – 12 = 0$$
$$log{left (16 left(x^{2} – 2right)^{4} right )} + log^{2}{left (x^{4} – 4 x^{2} + 4 right )} – 12 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x^{4} – 4 x^{2} + 4 right )}$$
Раскроем выражение в уравнении
$$w^{2} + log{left (16 left(x^{2} – 2right)^{4} right )} – 12 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$w^{2} + log{left (x^{8} – 8 x^{6} + 24 x^{4} – 32 x^{2} + 16 right )} – 12 + 4 log{left (2 right )} = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = log{left (x^{8} – 8 x^{6} + 24 x^{4} – 32 x^{2} + 16 right )} – 12 + 4 log{left (2 right )}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (1) * (-12 + 4*log(2) + log(16 + x^8 – 32*x^2 – 8*x^6 + 24*x^4)) = 48 – 16*log(2) – 4*log(16 + x^8 – 32*x^2 – 8*x^6 + 24*x^4)

Уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = frac{1}{2} sqrt{- 4 log{left (x^{8} – 8 x^{6} + 24 x^{4} – 32 x^{2} + 16 right )} – 16 log{left (2 right )} + 48}$$
$$w_{2} = – frac{1}{2} sqrt{- 4 log{left (x^{8} – 8 x^{6} + 24 x^{4} – 32 x^{2} + 16 right )} – 16 log{left (2 right )} + 48}$$
делаем обратную замену
$$log{left (x^{4} – 4 x^{2} + 4 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -1.10620024886 + 1.28384800425 i$$
$$x_{2} = -2.23633897019$$
$$x_{3} = 2.23633897019$$
$$x_{4} = 1.10620024886 – 1.28384800425 i$$
$$x_{5} = -1.10620024886 – 1.28384800425 i$$
$$x_{6} = 1.10620024886 + 1.28384800425 i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = -2.23633897019$$
$$x_{2} = 2.23633897019$$
Данные корни
$$x_{1} = -2.23633897019$$
$$x_{2} = 2.23633897019$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$-2.33633897019$$
=
$$-2.33633897019$$
подставляем в выражение
$$4 log{left (2 x^{2} – 4 right )} + log^{2}{left (x^{4} – 4 x^{2} + 4 right )} – 12 geq 0$$

2/ 4 2 / 2
log -2.33633897019 – 4*-2.33633897019 + 4/ + 4*log2*-2.33633897019 – 4/ – 12 >= 0

1.89453287288836 >= 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq -2.23633897019$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq -2.23633897019$$
$$x geq 2.23633897019$$