sin(2*x)+cos(2*x)^2>1+sqrt(2)

$$sin{left (2 x right )} + cos^{2}{left (2 x right )} > 1 + sqrt{2}$$

Дано неравенство:
$$sin{left (2 x right )} + cos^{2}{left (2 x right )} > 1 + sqrt{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin{left (2 x right )} + cos^{2}{left (2 x right )} = 1 + sqrt{2}$$
Решаем:
$$x_{1} = {atan}{left (frac{sqrt{2}}{4} left(1 + sqrt{-8 + left(1 – sqrt{- 4 sqrt{2} + 1}right)^{2}} – sqrt{- 4 sqrt{2} + 1}right) right )}$$
$$x_{2} = {atan}{left (frac{sqrt{2}}{4} left(1 – sqrt{-8 + left(1 + sqrt{- 4 sqrt{2} + 1}right)^{2}} + sqrt{- 4 sqrt{2} + 1}right) right )}$$
$$x_{3} = {atan}{left (frac{sqrt{2}}{4} left(1 – sqrt{- 4 sqrt{2} + 1} – sqrt{-8 + left(1 – sqrt{- 4 sqrt{2} + 1}right)^{2}}right) right )}$$
$$x_{4} = {atan}{left (frac{sqrt{2}}{4} left(1 + sqrt{- 4 sqrt{2} + 1} + sqrt{-8 + left(1 + sqrt{- 4 sqrt{2} + 1}right)^{2}}right) right )}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

$$sin{left (0 cdot 2 right )} + cos^{2}{left (0 cdot 2 right )} > 1 + sqrt{2}$$

___
1 > 1 + / 2

зн. неравенство не имеет решений

Данное неравенство не имеет решений