sin(3*x*1/4+p*1/4)>sqrt(2)*1/2

$$sin{left (frac{p}{4} + frac{3 x}{4} right )} > frac{sqrt{2}}{2}$$

Дано неравенство:
$$sin{left (frac{p}{4} + frac{3 x}{4} right )} > frac{sqrt{2}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin{left (frac{p}{4} + frac{3 x}{4} right )} = frac{sqrt{2}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin{left (frac{p}{4} + frac{3 x}{4} right )} = frac{sqrt{2}}{2}$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$frac{p}{4} + frac{3 x}{4} = 2 pi n + {asin}{left (frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
$$frac{p}{4} + frac{3 x}{4} = 2 pi n – {asin}{left (frac{sqrt{2}}{2} right )} + pi$$
Или
$$frac{p}{4} + frac{3 x}{4} = 2 pi n + frac{pi}{4}$$
$$frac{p}{4} + frac{3 x}{4} = 2 pi n + frac{3 pi}{4}$$
, где n – любое целое число
Перенесём
$$frac{p}{4}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$frac{3 x}{4} = 2 pi n – frac{p}{4} + frac{pi}{4}$$
$$frac{3 x}{4} = 2 pi n – frac{p}{4} + frac{3 pi}{4}$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$frac{3}{4}$$
$$x_{1} = frac{8 pi}{3} n – frac{p}{3} + frac{pi}{3}$$
$$x_{2} = frac{8 pi}{3} n – frac{p}{3} + pi$$
$$x_{1} = frac{8 pi}{3} n – frac{p}{3} + frac{pi}{3}$$
$$x_{2} = frac{8 pi}{3} n – frac{p}{3} + pi$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{8 pi}{3} n – frac{p}{3} + frac{pi}{3}$$
$$x_{2} = frac{8 pi}{3} n – frac{p}{3} + pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

p pi 8*pi*n 1
– – + — + —— – —
3 3 3 10

=
$$frac{8 pi}{3} n – frac{p}{3} – frac{1}{10} + frac{pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$sin{left (frac{p}{4} + frac{3 x}{4} right )} > frac{sqrt{2}}{2}$$

/ / p pi 8*pi*n 1
|3*|- – + — + —— – –| | ___
| 3 3 3 10/ p| / 2
sin|————————– + -| > —–
4 4/ 2

___
/ 3 pi / 2
sin|- — + — + 2*pi*n| > —–
40 4 / 2

Тогда
$$x < frac{8 pi}{3} n - frac{p}{3} + frac{pi}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{8 pi}{3} n – frac{p}{3} + frac{pi}{3} wedge x < frac{8 pi}{3} n - frac{p}{3} + pi$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2