sin(x)+3/2>=sin(x)^2+3/2-cos(x)^2+3/2

$$sin{left (x right )} + frac{3}{2} geq sin^{2}{left (x right )} + frac{3}{2} – cos^{2}{left (x right )} + frac{3}{2}$$

Дано неравенство:
$$sin{left (x right )} + frac{3}{2} geq sin^{2}{left (x right )} + frac{3}{2} – cos^{2}{left (x right )} + frac{3}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin{left (x right )} + frac{3}{2} = sin^{2}{left (x right )} + frac{3}{2} – cos^{2}{left (x right )} + frac{3}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin{left (x right )} + frac{3}{2} = sin^{2}{left (x right )} + frac{3}{2} – cos^{2}{left (x right )} + frac{3}{2}$$
преобразуем
$$sin{left (x right )} + cos{left (2 x right )} – frac{3}{2} = 0$$
$$- 2 sin^{2}{left (x right )} + sin{left (x right )} – frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = sin{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 1$$
$$c = – frac{1}{2}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(1)^2 – 4 * (-2) * (-1/2) = -3

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = frac{1}{4} – frac{sqrt{3} i}{4}$$
$$w_{2} = frac{1}{4} + frac{sqrt{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$sin{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$sin{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$x = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
Или
$$x = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$x = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 pi n + {asin}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = 2 pi n + {asin}{left (frac{1}{4} – frac{sqrt{3} i}{4} right )}$$
$$x_{1} = 2 pi n + {asin}{left (frac{1}{4} – frac{sqrt{3} i}{4} right )}$$
$$x_{2} = 2 pi n + {asin}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = 2 pi n + {asin}{left (frac{1}{4} + frac{sqrt{3} i}{4} right )}$$
$$x_{2} = 2 pi n + {asin}{left (frac{1}{4} + frac{sqrt{3} i}{4} right )}$$
$$x_{3} = 2 pi n – {asin}{left (w_{1} right )} + pi$$
$$x_{3} = 2 pi n + pi – {asin}{left (frac{1}{4} – frac{sqrt{3} i}{4} right )}$$
$$x_{3} = 2 pi n + pi – {asin}{left (frac{1}{4} – frac{sqrt{3} i}{4} right )}$$
$$x_{4} = 2 pi n – {asin}{left (w_{2} right )} + pi$$
$$x_{4} = 2 pi n + pi – {asin}{left (frac{1}{4} + frac{sqrt{3} i}{4} right )}$$
$$x_{4} = 2 pi n + pi – {asin}{left (frac{1}{4} + frac{sqrt{3} i}{4} right )}$$
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

2 3 2 3
sin(0) + 3/2 >= sin (0) + – – cos (0) + –
2 2

3/2 >= 2

но

3/2 < 2

зн. неравенство не имеет решений

Данное неравенство не имеет решений