sin(x)>1/2

$$sin{left (x right )} > frac{1}{2}$$

Дано неравенство:
$$sin{left (x right )} > frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin{left (x right )} = frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin{left (x right )} = frac{1}{2}$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 pi n + {asin}{left (frac{1}{2} right )}$$
$$x = 2 pi n – {asin}{left (frac{1}{2} right )} + pi$$
Или
$$x = 2 pi n + frac{pi}{6}$$
$$x = 2 pi n + frac{5 pi}{6}$$
, где n – любое целое число
$$x_{1} = 2 pi n + frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 pi n + frac{5 pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 pi n + frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 pi n + frac{5 pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 pi n + frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 pi n + frac{5 pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$2 pi n + frac{pi}{6} + – frac{1}{10}$$
=
$$2 pi n – frac{1}{10} + frac{pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$sin{left (x right )} > frac{1}{2}$$
$$sin{left (2 pi n + frac{pi}{6} + – frac{1}{10} right )} > frac{1}{2}$$

/ 1 pi
sin|- — + — + 2*pi*n| > 1/2
10 6 /

Тогда
$$x < 2 pi n + frac{pi}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 pi n + frac{pi}{6} wedge x < 2 pi n + frac{5 pi}{6}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

/pi 5*pi
And|– < x, x < ----| 6 6 /

$$frac{pi}{6} < x wedge x < frac{5 pi}{6}$$

pi 5*pi
(–, —-)
6 6

$$x in left(frac{pi}{6}, frac{5 pi}{6}right)$$