sin(x)^2

$$sin^{2}{left (x right )} leq frac{1}{2}$$

Дано неравенство:
$$sin^{2}{left (x right )} leq frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin^{2}{left (x right )} = frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin^{2}{left (x right )} = frac{1}{2}$$
преобразуем
$$- frac{1}{2} cos{left (2 x right )} = 0$$
$$sin^{2}{left (x right )} – frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = sin{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = – frac{1}{2}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (1) * (-1/2) = 2

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = frac{sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = – frac{sqrt{2}}{2}$$
делаем обратную замену
$$sin{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$sin{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$x = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
Или
$$x = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$x = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 pi n + {asin}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = 2 pi n + {asin}{left (frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
$$x_{1} = 2 pi n + frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 pi n + {asin}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = 2 pi n + {asin}{left (- frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
$$x_{2} = 2 pi n – frac{pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 pi n – {asin}{left (w_{1} right )} + pi$$
$$x_{3} = 2 pi n – {asin}{left (frac{sqrt{2}}{2} right )} + pi$$
$$x_{3} = 2 pi n + frac{3 pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 pi n – {asin}{left (w_{2} right )} + pi$$
$$x_{4} = 2 pi n – {asin}{left (- frac{sqrt{2}}{2} right )} + pi$$
$$x_{4} = 2 pi n + frac{5 pi}{4}$$
$$x_{1} = – frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{pi}{4}$$
$$x_{3} = frac{3 pi}{4}$$
$$x_{4} = frac{5 pi}{4}$$
$$x_{1} = – frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{pi}{4}$$
$$x_{3} = frac{3 pi}{4}$$
$$x_{4} = frac{5 pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{pi}{4}$$
$$x_{3} = frac{3 pi}{4}$$
$$x_{4} = frac{5 pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

pi 1
– — – —
4 10

=
$$- frac{pi}{4} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$sin^{2}{left (x right )} leq frac{1}{2}$$

2/ pi 1
sin |- — – –| <= 1/2 4 10/

2/1 pi
sin |– + –| <= 1/2 10 4 /

но

2/1 pi
sin |– + –| >= 1/2
10 4 /

Тогда
$$x leq – frac{pi}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq – frac{pi}{4} wedge x leq frac{pi}{4}$$

_____ _____
/ /
——-•——-•——-•——-•——-
x1 x2 x3 x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x geq – frac{pi}{4} wedge x leq frac{pi}{4}$$
$$x geq frac{3 pi}{4} wedge x leq frac{5 pi}{4}$$

/ /-pi pi /3*pi 5*pi
Or|And|—- <= x, x <= --|, And|---- <= x, x <= ----|| 4 4 / 4 4 //

$$left(- frac{pi}{4} leq x wedge x leq frac{pi}{4}right) vee left(frac{3 pi}{4} leq x wedge x leq frac{5 pi}{4}right)$$

-pi pi 3*pi 5*pi
[—-, –] U [—-, —-]
4 4 4 4

$$x in left[- frac{pi}{4}, frac{pi}{4}right] cup left[frac{3 pi}{4}, frac{5 pi}{4}right]$$