sqrt(4-x^2)*(4+5*x+x^2)>=0

$$sqrt{- x^{2} + 4} left(x^{2} + 5 x + 4right) geq 0$$

Дано неравенство:
$$sqrt{- x^{2} + 4} left(x^{2} + 5 x + 4right) geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sqrt{- x^{2} + 4} left(x^{2} + 5 x + 4right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$sqrt{- x^{2} + 4} left(x^{2} + 5 x + 4right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x^{2} + 5 x + 4 = 0$$
$$- x^{2} + 4 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x^{2} + 5 x + 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 5$$
$$c = 4$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(5)^2 – 4 * (1) * (4) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -4$$
2.
$$- x^{2} + 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{4} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 0$$
$$c = 4$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (-1) * (4) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = -2$$
$$x_{4} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{4} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{4} = 2$$
Данные корни
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{4} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{41}{10}$$
=
$$- frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$sqrt{- x^{2} + 4} left(x^{2} + 5 x + 4right) geq 0$$

_____________
/ 2 / 2
/ /-41 | 5*(-41) /-41 |
/ 4 – |—-| *|4 + ——- + |—-| | >= 0
/ 10 / 10 10 / /

______
31*I*/ 1281
————- >= 0
1000

Тогда
$$x leq -4$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -4 wedge x leq -2$$

_____ _____
/ /
——-•——-•——-•——-•——-
x2 x3 x1 x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x geq -4 wedge x leq -2$$
$$x geq -1 wedge x leq 2$$

$$left(-1 leq x wedge x leq 2right) vee x = -2$$

{-2} U [-1, 2]

$$x in left{-2right} cup left[-1, 2right]$$