(sqrt(5))^x-6

$$left(sqrt{5}right)^{x} – 6 < frac{1}{5}$$

Дано неравенство:
$$left(sqrt{5}right)^{x} – 6 < frac{1}{5}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(sqrt{5}right)^{x} – 6 = frac{1}{5}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$left(sqrt{5}right)^{x} – 6 = frac{1}{5}$$
или
$$left(sqrt{5}right)^{x} – 6 – frac{1}{5} = 0$$
или
$$5^{frac{x}{2}} = frac{31}{5}$$
или
$$5^{frac{x}{2}} = frac{31}{5}$$
– это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 5^{frac{x}{2}}$$
получим
$$v – frac{31}{5} = 0$$
или
$$v – frac{31}{5} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = frac{31}{5}$$
делаем обратную замену
$$5^{frac{x}{2}} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (sqrt{5} right )}}$$
$$x_{1} = frac{31}{5}$$
$$x_{1} = frac{31}{5}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{31}{5}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{61}{10}$$
=
$$frac{61}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(sqrt{5}right)^{x} – 6 < frac{1}{5}$$
$$-6 + left(sqrt{5}right)^{frac{61}{10}} < frac{1}{5}$$

20___
-6 + 125*/ 5 < 1/5

но

20___
-6 + 125*/ 5 > 1/5

Тогда
$$x < frac{31}{5}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > frac{31}{5}$$

_____
/
——-ο——-
x1

/ 2*log(31)
And|-oo < x, x < -2 + ---------| log(5) /

$$-infty < x wedge x < -2 + frac{2 log{left (31 right )}}{log{left (5 right )}}$$

2*log(31)
(-oo, -2 + ———)
log(5)

$$x in left(-infty, -2 + frac{2 log{left (31 right )}}{log{left (5 right )}}right)$$