(|x+1|+|x-2|)*1/(x+199)

$$frac{1}{x + 199} left(left|{x – 2}right| + left|{x + 1}right|right) leq 1$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{x + 199} left(left|{x – 2}right| + left|{x + 1}right|right) leq 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{x + 199} left(left|{x – 2}right| + left|{x + 1}right|right) = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{1}{x + 199} left(left|{x – 2}right| + left|{x + 1}right|right) = 1$$
преобразуем
$$frac{1}{x + 199} left(- x + left|{x – 2}right| + left|{x + 1}right| – 199right) = 0$$
$$-1 + frac{1}{x + 199} left(left|{x – 2}right| + left|{x + 1}right|right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = left|{x + 1}right|$$
Дано уравнение:
$$-1 + frac{1}{x + 199} left(left|{x – 2}right| + left|{x + 1}right|right) = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = |1 + x| + |-2 + x|

b1 = 199 + x

a2 = 1

b2 = 1

зн. получим ур-ние
$$left|{x – 2}right| + left|{x + 1}right| = x + 199$$
$$left|{x – 2}right| + left|{x + 1}right| = x + 199$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$left|{x – 2}right| + left|{x + 1}right| + 2 = x + 201$$
Переносим слагаемые с неизвестным w
из правой части в левую:

2 – x + |1 + x| + |-2 + x| = 201

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$left|{x + 1}right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -66$$
$$x_{2} = 200$$
$$x_{1} = -66$$
$$x_{2} = 200$$
Данные корни
$$x_{1} = -66$$
$$x_{2} = 200$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$-66.1$$
=
$$-66.1$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{x + 199} left(left|{x – 2}right| + left|{x + 1}right|right) leq 1$$
$$frac{1}{-66.1 + 199} left(left|{-66.1 + 1}right| + left|{-66.1 – 2}right|right) leq 1$$

1.00225733634312 <= 1

но

1.00225733634312 >= 1

Тогда
$$x leq -66$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -66 wedge x leq 200$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$left(-66 leq x wedge x leq 200right) vee left(-infty < x wedge x < -199right)$$

(-oo, -199) U [-66, 200]

$$x in left(-infty, -199right) cup left[-66, 200right]$$