(x-sin(3))*(x-tan(5*pi*1/6))*(x-cot(1/2))

$$left(x – sin{left (3 right )}right) left(x – tan{left (frac{5 pi}{6} right )}right) left(x – cot{left (frac{1}{2} right )}right) leq 0$$

Дано неравенство:
$$left(x – sin{left (3 right )}right) left(x – tan{left (frac{5 pi}{6} right )}right) left(x – cot{left (frac{1}{2} right )}right) leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(x – sin{left (3 right )}right) left(x – tan{left (frac{5 pi}{6} right )}right) left(x – cot{left (frac{1}{2} right )}right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$left(x – sin{left (3 right )}right) left(x – tan{left (frac{5 pi}{6} right )}right) left(x – cot{left (frac{1}{2} right )}right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x – sin{left (3 right )} = 0$$
$$x – cot{left (frac{1}{2} right )} = 0$$
$$x + frac{sqrt{3}}{3} = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x – sin{left (3 right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x – sin3 = 0

Разделим обе части ур-ния на (x – sin(3))/x

x = 0 / ((x – sin(3))/x)

Получим ответ: x1 = sin(3)
2.
$$x – cot{left (frac{1}{2} right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x – cot1/2 = 0

Разделим обе части ур-ния на (x – cot(1/2))/x

x = 0 / ((x – cot(1/2))/x)

Получим ответ: x2 = cot(1/2)
3.
$$x + frac{sqrt{3}}{3} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x + sqrt3/3 = 0

Разделим обе части ур-ния на (x + sqrt(3)/3)/x

x = 0 / ((x + sqrt(3)/3)/x)

Получим ответ: x3 = -sqrt(3)/3
$$x_{1} = sin{left (3 right )}$$
$$x_{2} = cot{left (frac{1}{2} right )}$$
$$x_{3} = – frac{sqrt{3}}{3}$$
$$x_{1} = sin{left (3 right )}$$
$$x_{2} = cot{left (frac{1}{2} right )}$$
$$x_{3} = – frac{sqrt{3}}{3}$$
Данные корни
$$x_{3} = – frac{sqrt{3}}{3}$$
$$x_{1} = sin{left (3 right )}$$
$$x_{2} = cot{left (frac{1}{2} right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} – frac{1}{10}$$
=

___
/ 3 1
– —– – —
3 10

=
$$- frac{sqrt{3}}{3} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(x – sin{left (3 right )}right) left(x – tan{left (frac{5 pi}{6} right )}right) left(x – cot{left (frac{1}{2} right )}right) leq 0$$

/ ___ / ___ / ___
| / 3 1 | | / 3 1 /5*pi| | / 3 1 |
|- —– – — – sin(3)|*|- —– – — – tan|—-||*|- —– – — – cot(1/2)| <= 0 3 10 / 3 10 6 // 3 10 /

/ ___ / ___
| 1 / 3 | | 1 sin(3) / 3 |
|- — – cot(1/2) – —–|*|— + —— + —–| <= 0 10 3 / 100 10 30 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq – frac{sqrt{3}}{3}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-•——-
x3 x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq – frac{sqrt{3}}{3}$$
$$x geq sin{left (3 right )} wedge x leq cot{left (frac{1}{2} right )}$$

$$left(x leq cot{left (frac{1}{2} right )} wedge sin{left (3 right )} leq xright) vee left(x leq – frac{sqrt{3}}{3} wedge -infty < xright)$$

___
-/ 3
(-oo, ——-] U [sin(3), cot(1/2)]
3

$$x in left(-infty, – frac{sqrt{3}}{3}right] cup left[sin{left (3 right )}, cot{left (frac{1}{2} right )}right]$$