(x^2-10*x+25)*(100-10^x)*1/log(5)*(x-1)>0

$$frac{1}{log{left (5 right )}} left(- 10^{x} + 100right) left(x^{2} – 10 x + 25right) left(x – 1right) > 0$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{log{left (5 right )}} left(- 10^{x} + 100right) left(x^{2} – 10 x + 25right) left(x – 1right) > 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{log{left (5 right )}} left(- 10^{x} + 100right) left(x^{2} – 10 x + 25right) left(x – 1right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{1}{log{left (5 right )}} left(- 10^{x} + 100right) left(x^{2} – 10 x + 25right) left(x – 1right) = 0$$
преобразуем
$$- frac{1}{log{left (5 right )}} left(10^{x} – 100right) left(x – 1right) left(x^{2} – 10 x + 25right) = 0$$
$$frac{1}{log{left (5 right )}} left(- 10^{x} + 100right) left(x^{2} – 10 x + 25right) left(x – 1right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (5 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w} left(- 10^{x} + 100right) left(x – 1right) left(x^{2} – 10 x + 25right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w
получим:
$$- left(10^{x} – 100right) left(x – 1right) left(x^{2} – 10 x + 25right) = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

1-x-100+10+x25+x+2+10*x = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

-(-1 + x)*(-100 + 10^x)*(25 + x^2 – 10*x) = 0

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

/ x / 2
1 – (-1 + x)* -100 + 10 /*25 + x – 10*x/ = 1

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (5 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 5$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 5$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{log{left (5 right )}} left(- 10^{x} + 100right) left(x^{2} – 10 x + 25right) left(x – 1right) > 0$$

/ 2 10*9 / 9/10
|9/10 – —- + 25|*100 – 10 /
10 /
———————————-*(9/10 – 1) > 0
1
log (5)

/ 9/10
| 1681*10 |
-|1681 – ———–|
100 / > 0
———————-
10*log(5)

Тогда
$$x < 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 1 wedge x < 2$$

_____ _____
/ /
——-ο——-ο——-ο——-
x1 x2 x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > 1 wedge x < 2$$
$$x > 5$$

$$1 < x wedge x < 2$$

(1, 2)

$$x in left(1, 2right)$$