|x-y|^2>=Abs(|x|-|y|)^2

$$left|{x – y}right|^{2} geq left|{left|{x}right| – left|{y}right|}right|^{2}$$

Дано неравенство:
$$left|{x – y}right|^{2} geq left|{left|{x}right| – left|{y}right|}right|^{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left|{x – y}right|^{2} = left|{left|{x}right| – left|{y}right|}right|^{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$left|{x – y}right|^{2} = left|{left|{x}right| – left|{y}right|}right|^{2}$$
преобразуем
$$- left(left|{x}right| – left|{y}right|right)^{2} + left|{x – y}right|^{2} = 0$$
$$left|{x – y}right|^{2} – left(left|{x}right| – left|{y}right|right)^{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = left|{x – y}right|$$
Раскроем выражение в уравнении
$$w^{2} – left(left|{x}right| – left|{y}right|right)^{2} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$w^{2} – left|{x}right|^{2} + 2 left|{x}right| left|{y}right| – left|{y}right|^{2} = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = – left|{x}right|^{2} + 2 left|{x}right| left|{y}right| – left|{y}right|^{2}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (1) * (-|x|^2 – |y|^2 + 2*|x|*|y|) = 4*|x|^2 + 4*|y|^2 – 8*|x|*|y|

Уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = frac{1}{2} sqrt{4 left|{x}right|^{2} – 8 left|{x}right| left|{y}right| + 4 left|{y}right|^{2}}$$
$$w_{2} = – frac{1}{2} sqrt{4 left|{x}right|^{2} – 8 left|{x}right| left|{y}right| + 4 left|{y}right|^{2}}$$
делаем обратную замену
$$left|{x – y}right| = w$$
подставляем w:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

2 2
|-y| >= ||0| – |y||

2 2
|y| >= |y|

зн. неравенство выполняется всегда

$$x = 0$$

{0}

$$x in left{0right}$$