(-x^2-12)*1/(x^2+8*x+15)

$$frac{- x^{2} – 12}{x^{2} + 8 x + 15} leq 0$$

Дано неравенство:
$$frac{- x^{2} – 12}{x^{2} + 8 x + 15} leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{- x^{2} – 12}{x^{2} + 8 x + 15} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$frac{- x^{2} – 12}{x^{2} + 8 x + 15} = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
15 + x^2 + 8*x
получим:
$$frac{left(- x^{2} – 12right) left(x^{2} + 8 x + 15right)}{x^{2} + 8 x + 15} = 0$$
$$- x^{2} – 12 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 0$$
$$c = -12$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (-1) * (-12) = -48

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – 2 sqrt{3} i$$
$$x_{2} = 2 sqrt{3} i$$
$$x_{1} = – 2 sqrt{3} i$$
$$x_{2} = 2 sqrt{3} i$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

2
– 0 – 12
—————- <= 0 1 / 2 + 8*0 + 15/

-4/5 <= 0

зн. неравенство выполняется всегда

$$left(-infty < x wedge x < -5right) vee left(-3 < x wedge x < inftyright)$$

(-oo, -5) U (-3, oo)

$$x in left(-infty, -5right) cup left(-3, inftyright)$$