x^2+(y-2)^2

$$x^{2} + left(y – 2right)^{2} < 4$$

Дано неравенство:
$$x^{2} + left(y – 2right)^{2} < 4$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + left(y – 2right)^{2} = 4$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + left(y – 2right)^{2} = 4$$
в
$$x^{2} + left(y – 2right)^{2} – 4 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$x^{2} + left(y – 2right)^{2} – 4 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} + y^{2} – 4 y = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = y^{2} – 4 y$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (1) * (y^2 – 4*y) = -4*y^2 + 16*y

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 16 y}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 16 y}$$
$$x_{1} = frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 16 y}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 16 y}$$
$$x_{1} = frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 16 y}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 16 y}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 16 y}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 16 y}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

_______________
/ 2
/ – 4*y + 16*y 1
—————— – —
2 10

=
$$frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 16 y} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + left(y – 2right)^{2} < 4$$

2
/ _______________
| / 2 |
|/ – 4*y + 16*y 1 | 2
|—————— – –| + (y – 2) < 4 2 10/

2
/ _______________
| / 2 |
2 | 1 / – 4*y + 16*y | < 4 (-2 + y) + |- -- + ------------------| 10 2 /

Тогда
$$x < frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 16 y}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 16 y} wedge x < - frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 16 y}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2