(x^3+6*x^2+28*x^2+2*x-10)*1/(x-5)

$$frac{1}{x – 5} left(2 x + 28 x^{2} + x^{3} + 6 x^{2} – 10right) leq 2$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{x – 5} left(2 x + 28 x^{2} + x^{3} + 6 x^{2} – 10right) leq 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{x – 5} left(2 x + 28 x^{2} + x^{3} + 6 x^{2} – 10right) = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$frac{1}{x – 5} left(2 x + 28 x^{2} + x^{3} + 6 x^{2} – 10right) = 2$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$frac{x^{2} left(x + 34right)}{x – 5} = 0$$
знаменатель
$$x – 5$$
тогда

x не равен 5

Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x = 0$$
$$x + 34 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x = 0$$
Получим ответ: x1 = 0
2.
$$x + 34 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -34$$
Получим ответ: x2 = -34
но

x не равен 5

$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -34$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -34$$
Данные корни
$$x_{2} = -34$$
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{341}{10}$$
=
$$- frac{341}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{x – 5} left(2 x + 28 x^{2} + x^{3} + 6 x^{2} – 10right) leq 2$$
$$frac{1}{- frac{341}{10} – 5} left(left(- frac{341}{10}right)^{3} + 6 left(- frac{341}{10}right)^{2} + 28 left(- frac{341}{10}right)^{2} + frac{-682}{10} 1 – 10right) leq 2$$

194481
—— <= 2 39100

но

194481
—— >= 2
39100

Тогда
$$x leq -34$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -34 wedge x leq 0$$

_____
/
——-•——-•——-
x2 x1

$$-34 leq x wedge x < 5$$

[-34, 5)

$$x in left[-34, 5right)$$