log(6)*(x+1)+log(6)*(2*x+1)

$$left(x + 1right) log{left (6 right )} + left(2 x + 1right) log{left (6 right )} leq 1$$

Дано неравенство:
$$left(x + 1right) log{left (6 right )} + left(2 x + 1right) log{left (6 right )} leq 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(x + 1right) log{left (6 right )} + left(2 x + 1right) log{left (6 right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение:

log(6)*(x+1)+log(6)*(2*x+1) = 1

Раскрываем выражения:

x*log(6) + log(6) + log(6)*(2*x + 1) = 1

x*log(6) + log(6) + 2*x*log(6) + log(6) = 1

Сокращаем, получаем:

-1 + 2*log(6) + 3*x*log(6) = 0

Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-1 + 2*log6 + 3*x*log6 = 0

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$3 x log{left (6 right )} + 2 log{left (6 right )} = 1$$
Разделим обе части ур-ния на (2*log(6) + 3*x*log(6))/x

x = 1 / ((2*log(6) + 3*x*log(6))/x)

Получим ответ: x = (1 – log(36))/(3*log(6))
$$x_{1} = frac{- log{left (36 right )} + 1}{3 log{left (6 right )}}$$
$$x_{1} = frac{- log{left (36 right )} + 1}{3 log{left (6 right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{- log{left (36 right )} + 1}{3 log{left (6 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

1 – log(36) 1
———– – —
1 10
3*log (6)

=
$$frac{- log{left (36 right )} + 1}{3 log{left (6 right )}} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(x + 1right) log{left (6 right )} + left(2 x + 1right) log{left (6 right )} leq 1$$

/1 – log(36) 1 / /1 – log(36) 1
log(6)*|———– – — + 1| + log(6)*|2*|———– – –| + 1| <= 1 | 1 10 | | | 1 10| | 3*log (6) / 3*log (6) / /

/4 2*(1 – log(36)) /9 1 – log(36)
|- + —————|*log(6) + |– + ———–|*log(6) <= 1 5 3*log(6) / 10 3*log(6) /

значит решение неравенства будет при:
$$x leq frac{- log{left (36 right )} + 1}{3 log{left (6 right )}}$$

_____
——-•——-
x1

/ 1 – log(36)
And|x <= -----------, -oo < x| 3*log(6) /

$$x leq frac{- log{left (36 right )} + 1}{3 log{left (6 right )}} wedge -infty < x$$

1 – log(36)
(-oo, ———–]
3*log(6)

$$x in left(-infty, frac{- log{left (36 right )} + 1}{3 log{left (6 right )}}right]$$