10000*(1+x)^5=50000

$$10000 left(x + 1right)^{5} = 50000$$

Дано уравнение
$$10000 left(x + 1right)^{5} = 50000$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[5]{10000} sqrt[5]{left(x + 1right)^{5}} = sqrt[5]{50000}$$
или
$$10^{frac{4}{5}} left(x + 1right) = 5 cdot 2^{frac{4}{5}}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

10^4/51+x = 5*2^(4/5)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

10^4/51+x = 5*2^4/5

Разделим обе части ур-ния на 10^(4/5)*(1 + x)/x

x = 5*2^(4/5) / (10^(4/5)*(1 + x)/x)

Получим ответ: x = -1 + 5^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 1$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 5$$
где
$$r = sqrt[5]{5}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (5 p right )} + cos{left (5 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (5 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (5 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{5} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = sqrt[5]{5}$$
$$z_{2} = – frac{sqrt[5]{5}}{4} + frac{5^{frac{7}{10}}}{4} – sqrt[5]{5} i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = – frac{sqrt[5]{5}}{4} + frac{5^{frac{7}{10}}}{4} + sqrt[5]{5} i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = – frac{5^{frac{7}{10}}}{4} – frac{sqrt[5]{5}}{4} – sqrt[5]{5} i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = – frac{5^{frac{7}{10}}}{4} – frac{sqrt[5]{5}}{4} + sqrt[5]{5} i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 1$$
$$x = z – 1$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1 + sqrt[5]{5}$$
$$x_{2} = -1 – frac{sqrt[5]{5}}{4} + frac{5^{frac{7}{10}}}{4} – sqrt[5]{5} i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = -1 – frac{sqrt[5]{5}}{4} + frac{5^{frac{7}{10}}}{4} + sqrt[5]{5} i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = -1 – frac{5^{frac{7}{10}}}{4} – frac{sqrt[5]{5}}{4} – sqrt[5]{5} i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = -1 – frac{5^{frac{7}{10}}}{4} – frac{sqrt[5]{5}}{4} + sqrt[5]{5} i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$

$$x_{1} = 0.379729661461215$$

x2 = -2.11622474376532 – 0.810984747157389*I

$$x_{2} = -2.11622474376532 – 0.810984747157389 i$$

x3 = -2.11622474376532 + 0.810984747157389*I

$$x_{3} = -2.11622474376532 + 0.810984747157389 i$$

x4 = -0.573640086965292 – 1.31220088525839*I

$$x_{4} = -0.573640086965292 – 1.31220088525839 i$$

x5 = -0.573640086965292 + 1.31220088525839*I

$$x_{5} = -0.573640086965292 + 1.31220088525839 i$$

x1 = -0.573640086965 + 1.31220088526*i

x2 = 0.379729661461000

x3 = -2.11622474377 + 0.810984747157*i

x4 = -2.11622474377 – 0.810984747157*i

x5 = -0.573640086965 – 1.31220088526*i