cos(x)^(3)=1

$$cos^{3}{left (x right )} = 1$$

Дано уравнение
$$cos^{3}{left (x right )} = 1$$
преобразуем
$$cos^{3}{left (x right )} – 1 = 0$$
$$cos^{3}{left (x right )} – 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (x right )}$$
Дано уравнение
$$w^{3} – 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{w^{3}} = sqrt[3]{1}$$
или
$$w = 1$$
Получим ответ: w = 1

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = w$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (3 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = – frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = w$$
$$w = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = – frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$cos{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (1 right )}$$
$$x_{1} = pi n$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{2} = pi n – pi + {acos}{left (1 right )}$$
$$x_{2} = pi n – pi$$

$$x_{1} = 0$$

x2 = 2*pi

$$x_{2} = 2 pi$$

/ / ___ / / ___
| | 1 I*/ 3 || | | 1 I*/ 3 ||
x3 = – re|acos|- – – ——-|| + 2*pi – I*im|acos|- – – ——-||
2 2 // 2 2 //

$$x_{3} = – Re{left({acos}{left (- frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} right )}right)} + 2 pi – i Im{left({acos}{left (- frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} right )}right)}$$

/ / ___ / / ___
| | 1 I*/ 3 || | | 1 I*/ 3 ||
x4 = – re|acos|- – + ——-|| + 2*pi – I*im|acos|- – + ——-||
2 2 // 2 2 //

$$x_{4} = – Re{left({acos}{left (- frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} right )}right)} + 2 pi – i Im{left({acos}{left (- frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} right )}right)}$$

/ / ___ / / ___
| | 1 I*/ 3 || | | 1 I*/ 3 ||
x5 = I*im|acos|- – – ——-|| + re|acos|- – – ——-||
2 2 // 2 2 //

$$x_{5} = Re{left({acos}{left (- frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} right )}right)} + i Im{left({acos}{left (- frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} right )}right)}$$

/ / ___ / / ___
| | 1 I*/ 3 || | | 1 I*/ 3 ||
x6 = I*im|acos|- – + ——-|| + re|acos|- – + ——-||
2 2 // 2 2 //

$$x_{6} = Re{left({acos}{left (- frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} right )}right)} + i Im{left({acos}{left (- frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} right )}right)}$$

x1 = 25.1327410819000

x2 = -25.1327414110000

x3 = 50.2654824464000

x4 = -94.2477794606000

x5 = -75.3982238498000

x6 = 94.2477796094000

x7 = 75.3982238747000

x8 = -62.8318526887000

x9 = -37.6991118770000

x10 = 69.1150381596000

x11 = -69.1150388142000

x12 = -50.2654823042000

x13 = -43.9822971746000

x14 = 5015345.32634000

x15 = -87.9645943589000

x16 = 31.4159265223000

x17 = 25.1327414386000

x18 = 62.8318528835000

x19 = -69.1150385567000

x20 = -75.3982237124000

x21 = 18.8495557358000

x22 = 18.8495560058000

x23 = -31.4159266945000

x24 = 75.3982238838000

x25 = 81.6814091628000

x26 = 50.2654830133000

x27 = -81.6814090378000

x28 = 75.3982232138000

x29 = -12.5663704200000

x30 = -62.8318531066000

x31 = 12.5663704611000

x32 = 43.9822967056000

x33 = -1.73461045527000e-7

x34 = -100.530964718000

x35 = -12.5663699518000

x36 = 31.4159267278000

x37 = 37.6991120075000

x38 = 0.0

x39 = 43.9822971694000

x40 = 81.6814084133000

x41 = 56.5486676171000

x42 = -87.9645941840000

x43 = 94.2477798199000

x44 = 6.28318600318000

x45 = -18.8495556288000

x46 = 69.1150385175000

x47 = -56.5486675685000

x48 = 6.28318528429000

x49 = 100.530964773000

x50 = -43.9822971364000

x51 = 87.9645935782000

x52 = -18.8495560072000

x53 = -6.28318514813000

x54 = 87.9645943356000