cos(x)^(4)=cos(2*x)

$$cos^{4}{left (x right )} = cos{left (2 x right )}$$

Дано уравнение
$$cos^{4}{left (x right )} = cos{left (2 x right )}$$
преобразуем
$$sin^{4}{left (x right )} = 0$$
$$cos^{4}{left (x right )} – 2 cos^{2}{left (x right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (x right )}$$
Дано уравнение:
$$w^{4} – 2 w^{2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = w^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} – 2 v + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-2)^2 – 4 * (1) * (1) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

v = -b/2a = –2/2/(1)

$$v_{1} = 1$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = w^{2}$$
то
$$w_{1} = sqrt{v_{1}}$$
$$w_{2} = – sqrt{v_{1}}$$
тогда:
$$w_{1} = $$

2 ___
/ 1
—– = 1
1

$$w_{2} = $$

2 ___
-/ 1
——- = -1
1

делаем обратную замену
$$cos{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (1 right )}$$
$$x_{1} = pi n$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{2} = pi n – pi + {acos}{left (1 right )}$$
$$x_{2} = pi n – pi$$

$$x_{1} = 0$$

x2 = pi

$$x_{2} = pi$$

x1 = 28.2742638291000

x2 = -43.9823594437000

x3 = -53.4079673695000

x4 = -21.9911797015000

x5 = 12.5655386529000

x6 = 100.530215717000

x7 = -87.9647198526000

x8 = 72.2566119326000

x9 = 94.2477860034000

x10 = 15.7088363188000

x11 = -81.6816053048000

x12 = -97.3903038626000

x13 = -28.2735039766000

x14 = 34.5567076662000

x15 = 97.3891235064000

x16 = -276.460396847000

x17 = -37.6992579404000

x18 = 81.6823448819000

x19 = 97.3894444037000

x20 = -9.42563019128000

x21 = 78.5390461989000

x22 = 37.7000060867000

x23 = 6.28308983368000

x24 = -59.6904316817000

x25 = -31.4167988656000

x26 = -65.9735393756000

x27 = -100.530131852000

x28 = -94.2470163877000

x29 = 87.9647184034000

x30 = 65.9735389544000

x31 = -6.28233370089000

x32 = -75.3991357021000

x33 = 43.9823593653000

x34 = 21.9911796968000

x35 = -78.5408115487000

x36 = 56.5478768484000

x37 = -72.2558453148000

x38 = 50.2654378690000

x39 = -6.28329572483000

x40 = 59.6911756066000

x41 = 0.0

x42 = -15.7080840961000

x43 = -50.2646745129000