sqrt(3*x+4)+sqrt(x-4)=2*sqrt(x)

$$sqrt{x – 4} + sqrt{3 x + 4} = 2 sqrt{x}$$

Дано уравнение
$$sqrt{x – 4} + sqrt{3 x + 4} = 2 sqrt{x}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$left(sqrt{x – 4} + sqrt{3 x + 4}right)^{2} = 4 x$$
или
$$1^{2} left(x – 4right) + left(-2right)^{2} x – 4 sqrt{x left(x – 4right)} = 4 x$$
или
$$5 x – 4 sqrt{x^{2} – 4 x} – 4 = 4 x$$
преобразуем:
$$- 4 sqrt{x^{2} – 4 x} = – x + 4$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$16 x^{2} – 64 x = left(- x + 4right)^{2}$$
$$16 x^{2} – 64 x = x^{2} – 8 x + 16$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$15 x^{2} – 56 x – 16 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 15$$
$$b = -56$$
$$c = -16$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-56)^2 – 4 * (15) * (-16) = 4096

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = – frac{4}{15}$$

Т.к.
$$sqrt{x^{2} – 4 x} = frac{x}{4} – 1$$
и
$$sqrt{x^{2} – 4 x} geq 0$$
то
$$frac{x}{4} – 1 geq 0$$
или
$$4 leq x$$
$$x < infty$$
$$x_{1} = 4$$
проверяем:
$$x_{1} = 4$$
$$- 2 sqrt{x_{1}} + sqrt{x_{1} – 4} + sqrt{3 x_{1} + 4} = 0$$
=
$$- 4 + sqrt{-4 + 4} + sqrt{4 + 3 cdot 4} = 0$$
=

0 = 0

– тождество
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 4$$

$$x_{1} = – frac{4}{3}$$

x2 = 4

$$x_{2} = 4$$

x1 = -1.33333333333333

x2 = 4.00000000000000