(x-1)^3=-8

$$left(x – 1right)^{3} = -8$$

Дано уравнение
$$left(x – 1right)^{3} = -8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{left(x – 1right)^{3}} = sqrt[3]{-8}$$
или
$$x – 1 = 2 sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-1 + x = -2*1^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 1 + 2 sqrt[3]{-1}$$
Получим ответ: x = 1 + 2*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x – 1$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -8$$
где
$$r = 2$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = -1$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = -1$$
и
$$sin{left (3 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N + frac{pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 1 – sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 1 + sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x – 1$$
$$x = z + 1$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2 – sqrt{3} i$$
$$x_{3} = 2 + sqrt{3} i$$

$$x_{1} = -1$$

___
x2 = 2 – I*/ 3

$$x_{2} = 2 – sqrt{3} i$$

___
x3 = 2 + I*/ 3

$$x_{3} = 2 + sqrt{3} i$$

x1 = 2.0 – 1.73205080757*i

x2 = -1.00000000000000

x3 = 2.0 + 1.73205080757*i