y*cot(y)=sin(3*x)^(2)

$$y cot{left (y right )} = sin^{2}{left (3 x right )}$$

Дано уравнение
$$y cot{left (y right )} = sin^{2}{left (3 x right )}$$
преобразуем
$$y cot{left (y right )} – sin^{2}{left (3 x right )} = 0$$
$$y cot{left (y right )} – sin^{2}{left (3 x right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = sin{left (3 x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 0$$
$$c = y cot{left (y right )}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (-1) * (y*cot(y)) = 4*y*cot(y)

Уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = – sqrt{y cot{left (y right )}}$$
$$w_{2} = sqrt{y cot{left (y right )}}$$
делаем обратную замену
$$sin{left (3 x right )} = w$$
Дано уравнение
$$sin{left (3 x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$3 x = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$3 x = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
Или
$$3 x = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$3 x = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$3$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{2 pi}{3} n + frac{1}{3} {asin}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = frac{2 pi}{3} n + frac{1}{3} {asin}{left (- sqrt{y cot{left (y right )}} right )}$$
$$x_{1} = frac{2 pi}{3} n – frac{1}{3} {asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )}$$
$$x_{2} = frac{2 pi}{3} n + frac{1}{3} {asin}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = frac{2 pi}{3} n + frac{1}{3} {asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )}$$
$$x_{2} = frac{2 pi}{3} n + frac{1}{3} {asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )}$$
$$x_{3} = frac{2 pi}{3} n – frac{1}{3} {asin}{left (w_{1} right )} + frac{pi}{3}$$
$$x_{3} = frac{2 pi}{3} n – frac{1}{3} {asin}{left (- sqrt{y cot{left (y right )}} right )} + frac{pi}{3}$$
$$x_{3} = frac{2 pi}{3} n + frac{1}{3} {asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )} + frac{pi}{3}$$
$$x_{4} = frac{2 pi}{3} n – frac{1}{3} {asin}{left (w_{2} right )} + frac{pi}{3}$$
$$x_{4} = frac{2 pi}{3} n – frac{1}{3} {asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )} + frac{pi}{3}$$
$$x_{4} = frac{2 pi}{3} n – frac{1}{3} {asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )} + frac{pi}{3}$$

$$x_{1} = – frac{1}{3} Re{left({asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )}right)} – frac{i}{3} Im{left({asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )}right)} + frac{pi}{3}$$

/ / __________ / / __________
pi reasin/ y*cot(y) // I*imasin/ y*cot(y) //
x2 = — + ———————- + ————————
3 3 3

$$x_{2} = frac{1}{3} Re{left({asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )}right)} + frac{i}{3} Im{left({asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )}right)} + frac{pi}{3}$$

/ / __________ / / __________
reasin/ y*cot(y) // I*imasin/ y*cot(y) //
x3 = – ———————- – ————————
3 3

$$x_{3} = – frac{1}{3} Re{left({asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )}right)} – frac{i}{3} Im{left({asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )}right)}$$

/ / __________ / / __________
reasin/ y*cot(y) // I*imasin/ y*cot(y) //
x4 = ———————- + ————————
3 3

$$x_{4} = frac{1}{3} Re{left({asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )}right)} + frac{i}{3} Im{left({asin}{left (sqrt{y cot{left (y right )}} right )}right)}$$